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東京大学 2017年文系第3問解説

方針・初手

点Pの座標を $(x,y)$ としたとき、問題の条件が $x$ と $y$ の差で表されることに着目する。1回の移動によって $x-y$ の値がどのように変化するかを追跡することで、1次元のランダムウォークに帰着させて考えるのが最も簡明である。また、上下左右の各方向への移動回数を文字でおいて、反復試行や順列として直接数え上げることも可能である。

解法1

点Pの座標が $(m,n)$ であるとき、$z = m-n$ とおく。

1回の移動による点Pの移動先と、そのときの $z$ の値は次のようになる。

$(m+1, n)$ へ移動（確率 $\frac{1}{4}$）：$z$ は $(m+1)-n = (m-n)+1$ となり、$+1$ される。
$(m, n-1)$ へ移動（確率 $\frac{1}{4}$）：$z$ は $m-(n-1) = (m-n)+1$ となり、$+1$ される。
$(m-1, n)$ へ移動（確率 $\frac{1}{4}$）：$z$ は $(m-1)-n = (m-n)-1$ となり、$-1$ される。
$(m, n+1)$ へ移動（確率 $\frac{1}{4}$）：$z$ は $m-(n+1) = (m-n)-1$ となり、$-1$ される。

これにより、1秒経過するごとに $z$ の値は確率 $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ で $+1$ され、確率 $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ で $-1$ される。

(1)

最初、点Pは原点 $(0,0)$ にあるため、$z=0$ である。

1秒後の点Pの座標 $(s,t)$ について、条件 $t-s=-1$ は $s-t=1$ すなわち $z=1$ を意味する。

$z$ の値が1回の移動で $+1$ される確率を求めればよいので、

$$ \frac{1}{2} $$

である。

(2)

6秒後に点Pが直線 $y=x$ 上にある条件は、$x-y=0$ すなわち $z=0$ となることである。

初期値 $z=0$ から出発し、6回の移動後に再び $z=0$ となるのは、$+1$ の変化と $-1$ の変化がちょうど3回ずつ起こる場合である。

それぞれの変化は独立して確率 $\frac{1}{2}$ で起こるので、求める確率は反復試行の確率より

$$ {}_6\mathrm{C}_{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 20 \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{8} = \frac{5}{16} $$

となる。

解法2

各方向への移動回数に着目して解く。（（1）については直接書き出す方法や解法1と同様であるため省略し、（2）について解説する）

(2)

1回の移動において、$x$ 軸正方向、$x$ 軸負方向、$y$ 軸正方向、$y$ 軸負方向へ移動する事象をそれぞれ $X^+, X^-, Y^+, Y^-$ と表す。これらの確率はすべて $\frac{1}{4}$ である。

6回の移動のうち、$X^+, X^-, Y^+, Y^-$ が起こる回数をそれぞれ $a, b, c, d$ （$a,b,c,d$ は0以上の整数）とする。移動の総回数は6回であるから、

$$ a+b+c+d=6 $$

このとき、6秒後の点Pの座標は $(a-b, c-d)$ となる。

点Pが直線 $y=x$ 上にある条件は $a-b = c-d$ であるから、これを変形して

$$ a+d = b+c $$

これら2つの式より、$(a+d)+(b+c)=6$ に代入して

$$ a+d = 3, \quad b+c = 3 $$

を得る。

これを満たす0以上の整数の組 $(a,d)$ は $(0,3), (1,2), (2,1), (3,0)$ の4通りあり、組 $(b,c)$ も同様に4通りある。

また、各回数の組み合わせ $(a,b,c,d)$ に対して、6回の移動の順序は $\frac{6!}{a!b!c!d!}$ 通り存在する。

各移動の確率はすべて $\frac{1}{4}$ であるから、求める確率は

$$ \sum_{a+d=3} \sum_{b+c=3} \frac{6!}{a!b!c!d!} \left(\frac{1}{4}\right)^6 = \frac{6!}{4^6} \left( \sum_{a+d=3} \frac{1}{a!d!} \right) \left( \sum_{b+c=3} \frac{1}{b!c!} \right) $$

ここで、二項定理より

$$ \sum_{a+d=3} \frac{3!}{a!d!} = \sum_{a=0}^3 {}_3\mathrm{C}_{a} = (1+1)^3 = 8 $$

であるから、

$$ \sum_{a+d=3} \frac{1}{a!d!} = \frac{8}{3!} = \frac{4}{3} $$

となる。

したがって、求める確率は

$$ \frac{720}{4096} \times \frac{4}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{720 \times 16}{4096 \times 9} = \frac{80 \times 16}{4096} = \frac{1280}{4096} = \frac{5}{16} $$

となる。

解説

平面上のランダムウォークにおいて、直線の条件（$y=x$ や $x+y=k$ など）が与えられた際は、座標の和 $x+y$ や差 $x-y$ に着目する変数変換が非常に有効である。

本問では $z=x-y$ とおくことで、平面上の移動を「確率 $\frac{1}{2}$ で $+1$、確率 $\frac{1}{2}$ で $-1$ される1次元のランダムウォーク」に帰着させることができる（解法1）。この視点を持てると、複雑な場合分けや計算を大幅に省略でき、計算ミスも防ぎやすくなる。

解法2のように、各方向の移動回数を文字でおいて立式し、多項定理を用いて計算を進めるのも数学的に自然なアプローチである。二項定理を用いて和をまとめて計算するテクニックは、難関大の確率問題で時折要求されるため習熟しておきたい。