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東京大学 2003年文系第4問解説

方針・初手

$n$ 回目に振ったさいころの目を $Y_n$ とし、$X_n$ が取り得る値と推移確率を整理することが第一歩である。 $X_{n+1}$ は $X_n$ を $Y_{n+1}$ で割った余りであるため、$X_n$ がどの値をとるかによって場合分けを行い、それぞれの状態から次の状態への遷移確率（状態遷移図）を求める。そこから確率の漸化式を立てて一般項を導く。

解法1

$n$ 回目に振ったさいころの目を $Y_n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ とする。 $X_1$ は $17$ を $Y_1$ で割った余りであるから、各 $Y_1$ に対する $X_1$ の値は以下のようになる。

$Y_1=1$ のとき $X_1=0$
$Y_1=2$ のとき $X_1=1$
$Y_1=3$ のとき $X_1=2$
$Y_1=4$ のとき $X_1=1$
$Y_1=5$ のとき $X_1=2$
$Y_1=6$ のとき $X_1=5$

これより、$X_1$ がとりうる値は $0, 1, 2, 5$ のみであり、それぞれの確率は次のようになる。

$$ P(X_1=0) = \frac{1}{6}, \quad P(X_1=1) = \frac{2}{6}, \quad P(X_1=2) = \frac{2}{6}, \quad P(X_1=5) = \frac{1}{6} $$

次に、ある状態 $X_n \in \{0, 1, 2, 5\}$ から次の状態 $X_{n+1}$ への推移を考える。 $X_{n+1}$ は $X_n$ を $Y_{n+1}$ で割った余りであるため、各状態からの遷移先とその確率は以下の通りとなる。

(i)

$X_n=0$ のとき任意の $Y_{n+1}$ に対して $0$ を割った余りは $0$ なので、必ず $X_{n+1}=0$ となる。

(ii)

$X_n=1$ のとき $Y_{n+1}=1$ のとき $X_{n+1}=0$ （確率 $\frac{1}{6}$） $Y_{n+1} \geqq 2$ のとき $X_{n+1}=1$ （確率 $\frac{5}{6}$）

(iii)

$X_n=2$ のとき $Y_{n+1} \in \{1, 2\}$ のとき $X_{n+1}=0$ （確率 $\frac{2}{6}$） $Y_{n+1} \geqq 3$ のとき $X_{n+1}=2$ （確率 $\frac{4}{6}$）

(iv)

$X_n=5$ のとき $Y_{n+1} \in \{1, 5\}$ のとき $X_{n+1}=0$ （確率 $\frac{2}{6}$） $Y_{n+1} \in \{2, 4\}$ のとき $X_{n+1}=1$ （確率 $\frac{2}{6}$） $Y_{n+1}=3$ のとき $X_{n+1}=2$ （確率 $\frac{1}{6}$） $Y_{n+1}=6$ のとき $X_{n+1}=5$ （確率 $\frac{1}{6}$）

以上から、$X_n$ は常に $\{0, 1, 2, 5\}$ のいずれかの値をとり、他の値をとることはない。以下、$X_n = k$ となる確率を $p_n(k)$ とおく。

(1) まず $X_2$ の確率分布を求める。

$$ p_2(5) = p_1(5) \times \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} $$

$$ p_2(2) = p_1(2) \times \frac{4}{6} + p_1(5) \times \frac{1}{6} = \frac{2}{6} \times \frac{4}{6} + \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} $$

$$ p_2(1) = p_1(1) \times \frac{5}{6} + p_1(5) \times \frac{2}{6} = \frac{2}{6} \times \frac{5}{6} + \frac{1}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} $$

全確率の和は $1$ であるから、

$$ p_2(0) = 1 - (p_2(5) + p_2(2) + p_2(1)) = 1 - \left( \frac{1}{36} + \frac{9}{36} + \frac{12}{36} \right) = \frac{14}{36} = \frac{7}{18} $$

次に $X_3$ の確率分布を求める。求めるのは $p_3(0)$ であるが、余事象の確率を計算する方が見通しが良い。

$$ p_3(5) = p_2(5) \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{216} $$

$$ p_3(2) = p_2(2) \times \frac{4}{6} + p_2(5) \times \frac{1}{6} = \frac{9}{36} \times \frac{4}{6} + \frac{1}{36} \times \frac{1}{6} = \frac{37}{216} $$

$$ p_3(1) = p_2(1) \times \frac{5}{6} + p_2(5) \times \frac{2}{6} = \frac{12}{36} \times \frac{5}{6} + \frac{1}{36} \times \frac{2}{6} = \frac{62}{216} = \frac{31}{108} $$

よって、$X_3=0$ となる確率は、

$$ p_3(0) = 1 - (p_3(5) + p_3(2) + p_3(1)) = 1 - \left( \frac{1}{216} + \frac{37}{216} + \frac{62}{216} \right) = 1 - \frac{100}{216} = \frac{116}{216} = \frac{29}{54} $$

(2) 状態遷移図より、他の状態（$0, 1, 2$）から状態 $5$ への遷移確率は $0$ である。したがって、$X_n = 5$ となるのは、初期状態が $X_1=5$ であり、そこから毎回状態 $5$ に遷移し続けた場合のみである。 $X_1=5$ となる確率は $\frac{1}{6}$ であり、状態 $5$ から状態 $5$ への推移確率は $\frac{1}{6}$ であるから、求める確率は

$$ p_n(5) = p_1(5) \times \left( \frac{1}{6} \right)^{n-1} = \frac{1}{6} \times \left( \frac{1}{6} \right)^{n-1} = \left( \frac{1}{6} \right)^n $$

(3) 状態 $0, 2$ から状態 $1$ への遷移確率は $0$ であるから、$n \geqq 2$ において $X_n=1$ となるのは、$X_{n-1}$ が $1$ または $5$ のいずれかの場合である。したがって、推移確率より次の漸化式が成り立つ。

$$ p_n(1) = p_{n-1}(1) \times \frac{5}{6} + p_{n-1}(5) \times \frac{2}{6} $$

（2）の結果より $p_{n-1}(5) = \left( \frac{1}{6} \right)^{n-1}$ であるから、これを代入する。

$$ p_n(1) = \frac{5}{6} p_{n-1}(1) + \frac{2}{6} \left( \frac{1}{6} \right)^{n-1} $$

この漸化式を解くため、両辺に $6^n$ をかける。

$$ 6^n p_n(1) = 5 \cdot 6^{n-1} p_{n-1}(1) + 2 $$

ここで、$a_n = 6^n p_n(1)$ とおくと、漸化式は次のように変形できる。

$$ a_n = 5 a_{n-1} + 2 $$

特性方程式 $\alpha = 5\alpha + 2$ を解くと $\alpha = -\frac{1}{2}$ となるため、

$$ a_n + \frac{1}{2} = 5 \left( a_{n-1} + \frac{1}{2} \right) $$

となる。数列 $\left\{ a_n + \frac{1}{2} \right\}$ は、初項が $a_1 + \frac{1}{2} = 6^1 \cdot p_1(1) + \frac{1}{2} = 6 \cdot \frac{2}{6} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ であり、公比 $5$ の等比数列である。

$$ a_n + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \cdot 5^{n-1} = \frac{1}{2} \cdot 5^n $$

$$ a_n = \frac{1}{2} (5^n - 1) $$

ゆえに、求める確率は

$$ p_n(1) = \frac{a_n}{6^n} = \frac{5^n - 1}{2 \cdot 6^n} $$

これは $n=1$ のときも $p_1(1) = \frac{5-1}{12} = \frac{1}{3}$ となり成立する。

解説

確率過程（マルコフ連鎖）の典型問題である。現在の状態のみから次の状態の確率が決まるため、まずは考えうるすべての状態を洗い出し、それぞれの状態間の推移確率を網羅することが重要である。本問では、状態が $0, 1, 2, 5$ の4つに限定されること、および $2 \to 1$ や $0, 1 \to 5$ のような遷移が存在しない「一方通行」の性質を持つことに気づくことがポイントとなる。この性質により、特定の状態についての漸化式を順次解いていくことができるため、(2) から (3) への誘導が自然な流れとなっている。