東京大学 2006年 文系 第3問 解説

方針・初手

(1)は、和と積が混在する不定方程式の典型問題である。与えられている大小関係 $x \leqq y \leqq z$ を利用し、右辺の和を最大の文字 $z$ で置き換えて上から評価することで、積 $xy$ のとり得る範囲を絞り込む方針をとる。

(2)は、3次式の和と積が等号で結ばれていることから、因数分解の公式や相加平均と相乗平均の大小関係を利用して不等式を作り、矛盾を導く方針が有効である。

解法1

(1)

$n=1$ のとき、方程式①は以下のようになる。

$$ x + y + z = xyz $$

$x, y, z$ は正の整数であり、$x \leqq y \leqq z$ を満たすから、

$$ xyz = x + y + z \leqq z + z + z = 3z $$

が成り立つ。$z$ は正の整数であるから $z > 0$ であり、両辺を $z$ で割ると、

$$ xy \leqq 3 $$

を得る。$x, y$ は $x \leqq y$ を満たす正の整数であるから、考えられる $(x, y)$ の組は以下の3通りである。

(i)

$(x, y) = (1, 1)$ のとき

方程式に代入すると、

$$ 1 + 1 + z = z $$

$$ 2 = 0 $$

となり、これを満たす $z$ は存在しないため不適。

(ii)

$(x, y) = (1, 2)$ のとき

方程式に代入すると、

$$ 1 + 2 + z = 2z $$

$$ z = 3 $$

これは $y \leqq z$ （$2 \leqq 3$）を満たすため、適する。

(iii)

$(x, y) = (1, 3)$ のとき

方程式に代入すると、

$$ 1 + 3 + z = 3z $$

$$ 2z = 4 $$

$$ z = 2 $$

これは $y \leqq z$ （$3 \leqq z$）を満たさないため不適。

以上より、条件を満たす組は $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ のみである。

(2)

$n=3$ のとき、方程式①は以下のようになる。

$$ x^3 + y^3 + z^3 = xyz $$

$x, y, z$ は正の実数であるから、$x^3 > 0, y^3 > 0, z^3 > 0$ である。3つの正の数 $x^3, y^3, z^3$ に対して相加平均と相乗平均の大小関係を用いると、

$$ \frac{x^3 + y^3 + z^3}{3} \geqq \sqrt[3]{x^3 y^3 z^3} $$

が成り立つ。$\sqrt[3]{x^3 y^3 z^3} = xyz$ であるから、

$$ x^3 + y^3 + z^3 \geqq 3xyz $$

となる。ここで、方程式より $x^3 + y^3 + z^3 = xyz$ であるため、左辺にこれを代入すると、

$$ xyz \geqq 3xyz $$

となる。$x, y, z$ は正の実数であるから $xyz > 0$ であり、両辺を $xyz$ で割ると、

$$ 1 \geqq 3 $$

となり矛盾が生じる。

したがって、$n=3$ のとき、①を満たす正の実数の組 $(x, y, z)$ は存在しない。

解法2

(2)の別解

$n=3$ のときの方程式 $x^3 + y^3 + z^3 = xyz$ について、よく知られた恒等式を用いて左辺から $3xyz$ を引いた式を因数分解する。

$$ \begin{aligned} x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz &= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \\ &= \frac{1}{2}(x + y + z)\left\{ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 \right\} \end{aligned} $$

$x, y, z$ は正の実数であるから、$x + y + z > 0$ である。また、実数の2乗は0以上であるから $\left\{ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 \right\} \geqq 0$ である。したがって、

$$ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \geqq 0 $$

$$ x^3 + y^3 + z^3 \geqq 3xyz $$

が成り立つ。方程式より $x^3 + y^3 + z^3 = xyz$ であるため、

$$ xyz \geqq 3xyz $$

となる。$x, y, z > 0$ より $xyz > 0$ であるから、両辺を $xyz$ で割って

$$ 1 \geqq 3 $$

となり矛盾する。よって、条件を満たす正の実数の組 $(x, y, z)$ は存在しない。

解説

(1)は「和と積の混ざった不定方程式」の最も基本的な形である。変数の大小関係が与えられている場合は、最大の変数で和を上から評価し、変数を絞り込むのが定石の処理である。

(2)は $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ の因数分解公式、あるいは3変数の相加平均と相乗平均の大小関係を背景とした問題である。「正の実数」という条件から、不等式による評価を考えることができれば容易に矛盾を導くことができる。

答え

(1)

$ (x, y, z) = (1, 2, 3) $

(2)

略（解法1の証明を参照）