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東京大学 2013年文系第3問解説

方針・初手

与えられた式を平方完成し、$z = (x-a)^2 + (y-b)^2 - a^2 - b^2$ と変形する。これにより、$f(x, y) = (x-a)^2 + (y-b)^2$ の最小値を求める問題に帰着できる。これは、座標平面上の点 $P(a, b)$ と、条件を満たす領域 $D$ 内の点 $(x, y)$ との距離の2乗の最小値を求めることと同じである。領域 $D$ の境界線の交点を求め、点 $P(a, b)$ の位置によって最短距離を与える点が領域のどこになるか（内部、線分上、頂点、円弧上）を場合分けして考える。

解法1

実数 $x, y$ が満たす領域を $D$ とする。すなわち、

$$ x^2 + y^2 \leqq 25 \quad \text{かつ} \quad 2x + y \leqq 5 $$

である。領域 $D$ の境界となる円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $2x + y = 5$ の交点を求める。 $y = 5 - 2x$ を円の式に代入して、

$$ x^2 + (5 - 2x)^2 = 25 $$

展開して整理すると、

$$ 5x^2 - 20x = 0 $$

$$ 5x(x - 4) = 0 $$

よって、$x = 0, 4$ となり、交点は $A(0, 5)$ と $B(4, -3)$ である。領域 $D$ は、円の内部（境界を含む）のうち、直線 $AB$ の左下側の部分である。

求める値 $z$ は次のように変形できる。

$$ z = (x-a)^2 + (y-b)^2 - a^2 - b^2 $$

ここで、定点 $P(a, b)$ をとると、$(x-a)^2 + (y-b)^2$ は点 $P$ と領域 $D$ 上の点 $(x, y)$ との距離の2乗を表す。この距離の2乗が最小となるのは、領域 $D$ において点 $P$ に最も近い点をとるときである。点 $P$ の位置によって、以下の5つの場合に分けて最小値を求める。

(i) 点 $P$ が領域 $D$ 内にあるとき

条件は、$a^2 + b^2 \leqq 25$ かつ $2a + b \leqq 5$ である。このとき、点 $(x, y) = (a, b)$ をとることができ、距離の最小値は $0$ である。よって、$z$ の最小値は、

$$ 0 - a^2 - b^2 = -a^2 - b^2 $$

(ii) 点 $P$ から領域 $D$ への最短点が線分 $AB$ 上の内点となるとき

点 $P$ から直線 $2x + y = 5$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。最短点が $H$ となるのは、点 $P$ が直線 $AB$ に関して領域 $D$ の反対側（$2a + b > 5$）にあり、かつ $H$ が線分 $AB$ 上にあるときである。 $H$ が線分 $AB$ 上にある条件は、$\vec{AP} \cdot \vec{AB} \geqq 0$ かつ $\vec{BP} \cdot \vec{BA} \geqq 0$ である。 $\vec{AB} = (4, -8)$ であり、方向ベクトルを $\vec{v} = (1, -2)$ とする。

$$ \vec{AP} \cdot \vec{v} = (a, b-5) \cdot (1, -2) = a - 2b + 10 \geqq 0 \iff a - 2b \geqq -10 $$

$$ \vec{BP} \cdot (-\vec{v}) = (a-4, b+3) \cdot (-1, 2) = -a + 2b + 10 \geqq 0 \iff a - 2b \leqq 10 $$

したがって、条件は $2a + b > 5$ かつ $-10 \leqq a - 2b \leqq 10$ である。このとき、点と直線の距離公式より、距離の2乗は、

$$ PH^2 = \frac{(2a + b - 5)^2}{2^2 + 1^2} = \frac{(2a + b - 5)^2}{5} $$

よって、$z$ の最小値は、

$$ \frac{4a^2 + 4ab + b^2 - 20a - 10b + 25}{5} - a^2 - b^2 = -\frac{1}{5}(a - 2b)^2 - 4a - 2b + 5 $$

(iii) 点 $P$ から領域 $D$ への最短点が点 $A(0, 5)$ となるとき

最短点が $A$ となるのは、点 $A$ を始点として領域 $D$ の境界に沿って伸びる2つの接方向ベクトルに対し、$\vec{AP}$ がなす角がともに $90^\circ$ 以上となるときである。点 $A$ における円弧方向の接ベクトルは $\vec{u_1} = (-1, 0)$、線分 $AB$ 方向の接ベクトルは $\vec{u_2} = (1, -2)$ である。条件は $\vec{AP} \cdot \vec{u_1} \leqq 0$ かつ $\vec{AP} \cdot \vec{u_2} \leqq 0$ である。

$$ \vec{AP} \cdot \vec{u_1} = (a, b-5) \cdot (-1, 0) = -a \leqq 0 \iff a \geqq 0 $$

$$ \vec{AP} \cdot \vec{u_2} = (a, b-5) \cdot (1, -2) = a - 2b + 10 \leqq 0 \iff a - 2b \leqq -10 $$

このとき、距離の2乗は $PA^2 = a^2 + (b-5)^2$ である。よって、$z$ の最小値は、

$$ a^2 + (b-5)^2 - a^2 - b^2 = 25 - 10b $$

(iv) 点 $P$ から領域 $D$ への最短点が点 $B(4, -3)$ となるとき

(iii) と同様に、点 $B$ における円弧方向の接ベクトルは $\vec{w_1} = (-3, -4)$、線分 $BA$ 方向の接ベクトルは $\vec{w_2} = (-1, 2)$ である。条件は $\vec{BP} \cdot \vec{w_1} \leqq 0$ かつ $\vec{BP} \cdot \vec{w_2} \leqq 0$ である。

$$ \vec{BP} \cdot \vec{w_1} = (a-4, b+3) \cdot (-3, -4) = -3a - 4b \leqq 0 \iff 3a + 4b \geqq 0 $$

$$ \vec{BP} \cdot \vec{w_2} = (a-4, b+3) \cdot (-1, 2) = -a + 2b + 10 \leqq 0 \iff a - 2b \geqq 10 $$

このとき、距離の2乗は $PB^2 = (a-4)^2 + (b+3)^2$ である。よって、$z$ の最小値は、

$$ (a-4)^2 + (b+3)^2 - a^2 - b^2 = 25 - 8a + 6b $$

(v) 点 $P$ から領域 $D$ への最短点が円弧上の内点となるとき

(i)〜(iv) 以外で、点 $P$ が領域 $D$ の外部にある場合である。これは点 $P$ が円の外部（$a^2 + b^2 > 25$）にあり、かつ原点と $P$ を結ぶ半直線が領域 $D$ の円弧部分と交わるときである。半直線と円の交点を $Q$ とすると、その座標は $Q \left( \frac{5a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \frac{5b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)$ となる。これが領域 $D$ に含まれる条件は、$2x + y \leqq 5$ を満たすことであるから、

$$ \frac{10a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{5b}{\sqrt{a^2+b^2}} \leqq 5 \iff 2a + b \leqq \sqrt{a^2+b^2} $$

このとき、最短距離は $PQ = \sqrt{a^2+b^2} - 5$ である。よって、$z$ の最小値は、

$$ (\sqrt{a^2+b^2} - 5)^2 - a^2 - b^2 = 25 - 10\sqrt{a^2+b^2} $$

解説

式を $(x-a)^2 + (y-b)^2$ の形に平方完成し、幾何学的な「点と領域の距離」の問題に帰着させる典型的な手法である。領域の境界が複数ある（今回は円弧と線分）場合、最短点となる候補は「境界線上の内点」と「境界が交わる角（頂点）」に分類される。法線ベクトルや接方向ベクトルとの内積を利用して、点 $P$ がどの「領域の法線錐」に属するかを判定すると、論理の飛躍なく厳密に場合分けの条件を導出できる。

答え

$z$ の最小値は、$a, b$ の条件によって以下のようになる。

$a^2 + b^2 \leqq 25$ かつ $2a + b \leqq 5$ のとき: $-a^2 - b^2$
$2a + b > 5$ かつ $-10 \leqq a - 2b \leqq 10$ のとき: $-\frac{1}{5}(a - 2b)^2 - 4a - 2b + 5$
$a \geqq 0$ かつ $a - 2b \leqq -10$ のとき: $25 - 10b$
$3a + 4b \geqq 0$ かつ $a - 2b \geqq 10$ のとき: $25 - 8a + 6b$
$a^2 + b^2 > 25$ かつ $2a + b \leqq \sqrt{a^2+b^2}$ のとき: $25 - 10\sqrt{a^2+b^2}$