トップ› 京都大学› 2024年› 文系第2問

京都大学 2024年文系第2問解説

方針・初手

立方体の各面を区別し（例えば上面・下面・前面・後面・右面・左面とする）、「各面に対して独立に色を選ぶ試行」として全事象の数を $n^6$ とします。

隣り合う面が異なる色になる塗り方の数を数える際、立方体の構造において「隣り合わない面」は「向かい合う面」のみであることに着目します。

特定の向かい合う1組の面（例えば上面と下面）の色が「同じ場合」と「異なる場合」で場合分けを行い、残りの側面4面の塗り方を数え上げるのが見通しの良い方針です。

解法1

立方体の6つの面を、便宜上、上面・下面・前面・後面・右面・左面と区別して考える。各面に $n$ 種類の色の中から1つを独立に選んで塗るため、すべての塗り方の総数（全事象）は $n^6$ 通りであり、これらは同様に確からしい。

「辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる」とは、「隣り合う面が異なる色になる」ことである。上面と下面の色が同じか異なるかで場合分けして、条件を満たす塗り方の数を求める。

(1) $n=3$ の場合

全事象は $3^6$ 通り。

[1] 上面と下面が同じ色の場合

上面の色の選び方は $3$ 通り。下面は上面と同じ色を塗るため $1$ 通り。

側面4面（前、右、後、左）はすべて上面および下面と隣り合うため、残りの $2$ 種類の色を使って塗らなければならない。側面4面を、隣り合う面が異なるように $2$ 色で塗るには、$2$ 色を交互に塗るしかなく、その方法は $2$ 通りである。

よって、この場合の数は $3 \times 1 \times 2 = 6$ 通り。

[2] 上面と下面が異なる色の場合

上面の色の選び方は $3$ 通り。下面の色の選び方は、上面と異なる $2$ 通り。

側面4面は、上面とも下面とも隣り合うため、上面の色も下面の色も使えない。しかし、全体で $3$ 種類の色しかないため、側面に使える色は残りの $1$ 種類のみとなる。$1$ 種類の色で側面を塗ると、必ず隣り合う側面が同じ色になってしまうため、条件を満たす塗り方は存在しない（$0$ 通り）。

[1], [2] より、条件を満たす塗り方の総数は $6$ 通り。したがって、求める確率 $p_3$ は

$$ p_3 = \frac{6}{3^6} = \frac{6}{729} = \frac{2}{243} $$

(2) $n=4$ の場合

全事象は $4^6 = 4096$ 通り。

[1] 上面と下面が同じ色の場合

上面の色の選び方は $4$ 通り。下面は $1$ 通り。

側面4面は、残りの $3$ 種類の色を使って、隣り合う面が異なる色になるように塗る。側面の塗り方を、さらに「前面と後面（向かい合う側面）の色が同じか異なるか」で場合分けする。

(i) 前面と後面が同じ色の場合

前面の色の選び方は $3$ 通り。後面は $1$ 通り。右面と左面は、前面（＝後面）と異なる色であればよいので、それぞれ $2$ 通りずつ選べる。

よって $3 \times 1 \times 2 \times 2 = 12$ 通り。

(ii) 前面と後面が異なる色の場合

前面の色の選び方は $3$ 通り。後面の色の選び方は前面と異なる $2$ 通り。右面と左面は、前面とも後面とも異なる色でなければならないので、それぞれ $1$ 通りしか選べない。

よって $3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6$ 通り。

以上から、側面4面の塗り方は $12 + 6 = 18$ 通りとなる。したがって、この場合の総数は $4 \times 1 \times 18 = 72$ 通り。

[2] 上面と下面が異なる色の場合

上面の色の選び方は $4$ 通り。下面の色の選び方は、上面と異なる $3$ 通り。

側面4面は、上面・下面と異なる残りの $2$ 種類の色を使って塗る。(1)の[1]と同様に、側面を $2$ 色で隣り合う面が異なるように塗る方法は $2$ 通りである。

したがって、この場合の総数は $4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り。

[1], [2] より、条件を満たす塗り方の総数は $72 + 24 = 96$ 通り。したがって、求める確率 $p_4$ は

$$ p_4 = \frac{96}{4^6} = \frac{96}{4096} = \frac{3}{128} $$

解説

立体図形の塗り分け問題では、「各面にどの色を塗るかは同様に確からしい」という表現から、「回転して一致するものを同一視する（じゅず順列・円順列的発想）」のではなく、「各面が区別されており、それぞれ独立に色を選択する試行」と正しく解釈できるかが最初の関門です。そのため分母は単純な重複順列 $n^6$ となります。

分子（条件を満たす場合の数）を求める際は、立方体の「向かい合う面は隣り合わない」という性質を利用し、向かい合う1組の面（上面・下面）で使われる色が「同色か異色か」で場合分けすることで、残りの側面の塗り分けに使える色の数を制限しやすくなります。