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東京大学 1966年理系第6問解説

方針・初手

作られる4桁の数はカードを並べる順列により構成されるため、辞書式配列の考え方を用いて、1966より小さくなる条件を上の位から順に場合分けして数え上げる。各桁の数字に重複がないことに注意して丁寧に場合の数を求める。

解法1

9枚のカードから4枚を非復元抽出し、順番に並べて4桁の数をつくる。このとき、すべての数の作られ方は同様に確からしい。全事象の数は、9枚から4枚を選ぶ順列の総数なので、

$$ _9\mathrm{P}_4 = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024 $$

通りである。

作られる数が $1966$ より小さくなる場合を、上の位から順に固定して数え上げる。千の位の数が $2$ 以上であれば $2000$ 以上となるため、千の位は $1$ に限られる。

（i）千の位が $1$ 、百の位が $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ の場合これらの数は最大でも $1897$ であり、確実に $1966$ より小さくなる。百の位の選び方は $7$ 通りである。十の位と一の位は、残った $7$ 枚のカードから $2$ 枚を選んで並べるので、

$$ _7\mathrm{P}_2 = 7 \times 6 = 42 $$

通りある。したがって、この場合は

$$ 7 \times 42 = 294 $$

通りである。

（ii）千の位が $1$ 、百の位が $9$ の場合作られる数は $19\text{〇〇}$ という形になる。すでに $1, 9$ が使われているため、残りのカードは $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ である。ここからさらに十の位の数で場合分けを行う。

（ii-a）十の位が $2, 3, 4, 5$ の場合作られる数は $1958$ 以下となり、$1966$ より小さくなる。十の位の選び方は $4$ 通りである。一の位は、残りの $6$ 枚から $1$ 枚を選ぶので $6$ 通りある。よって、この場合は

$$ 4 \times 6 = 24 $$

通りである。

（ii-b）十の位が $6$ の場合作られる数は $196\text{〇}$ という形になる。これが $1966$ より小さくなるためには、一の位は $5$ 以下でなければならない。すでに $1, 9, 6$ が使われているため、残りのカードのうち $5$ 以下のものは $2, 3, 4, 5$ の $4$ 枚である。よって、一の位の選び方は $4$ 通りある。

（ii-c）十の位が $7, 8$ の場合作られる数は $1970$ 以上となり、$1966$ より小さくならないため、条件を満たさない。

以上より、求める場合の数は（i）と（ii）を合計して、

$$ 294 + 24 + 4 = 322 $$

通りとなる。

したがって、求める確率は

$$ \frac{322}{3024} = \frac{161}{1512} = \frac{23}{216} $$

である。

解説

順列に関する確率を求める典型的な問題である。「1から9までの数字が一つずつ書かれたカード」であること、「重複を許さず4枚取り出す」ことから、各桁の数字がすべて異なることに注意する必要がある。一の位を考える際に、すでに使った数字を候補から除外することを忘れてはならない。辞書式配列の要領で位が大きい方から丁寧に場合分けをすれば、漏れなく数え上げることができる。