東京大学 1980年 理系 第5問 解説

方針・初手

正四面体の頂点を移動する点の確率を求める、典型的な確率漸化式の問題である。 時刻 $t=n$ から時刻 $t=n+1$ への状態遷移を考え、推移確率をもとに $p_0(n), p_1(n), p_2(n), p_3(n)$ についての漸化式を立てる。また、すべての確率の和が1になること（$p_0(n) + p_1(n) + p_2(n) + p_3(n) = 1$）を活用して、変数を消去して連立漸化式を解く方針をとる。

解法1

(1)

点 $P$ は1秒ごとに、今いる頂点と隣接する3つの頂点のいずれかへ、それぞれ確率 $\frac{1}{3}$ で移動する。 したがって、時刻 $t=n+1$ において頂点 $A_1, A_2, A_3$ にいる確率について、それぞれ次のような漸化式が成り立つ。

$$ \begin{aligned} p_1(n+1) &= \frac{1}{3}p_0(n) + \frac{1}{3}p_2(n) + \frac{1}{3}p_3(n) \\ p_2(n+1) &= \frac{1}{3}p_0(n) + \frac{1}{3}p_1(n) + \frac{1}{3}p_3(n) \\ p_3(n+1) &= \frac{1}{3}p_0(n) + \frac{1}{3}p_1(n) + \frac{1}{3}p_2(n) \end{aligned} $$

これらを用いて、数学的帰納法により $p_1(n) = p_2(n) = p_3(n)$ を証明する。

(I)

$n=0$ のとき

点 $P$ は時刻 $t=0$ において頂点 $A_0$ にあるので、$p_0(0) = 1$ であり、 $p_1(0) = 0, p_2(0) = 0, p_3(0) = 0$ である。 よって、$p_1(0) = p_2(0) = p_3(0) = 0$ となり成立する。

(II)

$n=k$ ($k$ は0以上の整数) のとき成立すると仮定する。

すなわち、$p_1(k) = p_2(k) = p_3(k)$ と仮定する。 このとき、$n=k+1$ について漸化式を用いると、

$$ \begin{aligned} p_1(k+1) &= \frac{1}{3}p_0(k) + \frac{2}{3}p_1(k) \\ p_2(k+1) &= \frac{1}{3}p_0(k) + \frac{2}{3}p_1(k) \\ p_3(k+1) &= \frac{1}{3}p_0(k) + \frac{2}{3}p_1(k) \end{aligned} $$

となり、$p_1(k+1) = p_2(k+1) = p_3(k+1)$ が成り立つ。 したがって、$n=k+1$ のときも成立する。

(I), (II) より、すべての0以上の整数 $n$ について $p_1(n) = p_2(n) = p_3(n)$ が成り立つ。

(2)

点 $P$ は常に $A_0, A_1, A_2, A_3$ のいずれかの頂点にいるため、すべての0以上の整数 $n$ について全事象の確率の和をとると、

$$ p_0(n) + p_1(n) + p_2(n) + p_3(n) = 1 $$

が成り立つ。 (1) より $p_1(n) = p_2(n) = p_3(n)$ であるから、

$$ p_0(n) + 3p_1(n) = 1 $$

すなわち、

$$ p_1(n) = \frac{1}{3} \{ 1 - p_0(n) \} $$

が成り立つ。 一方、時刻 $t=n+1$ に頂点 $A_0$ にいる確率は、時刻 $n$ に $A_1, A_2, A_3$ にいて $A_0$ に移動する場合を足し合わせることで、

$$ p_0(n+1) = \frac{1}{3}p_1(n) + \frac{1}{3}p_2(n) + \frac{1}{3}p_3(n) $$

と表せる。ここで (1) を用いると、

$$ p_0(n+1) = p_1(n) $$

となる。 ここに先ほどの $p_1(n)$ の式を代入して、

$$ p_0(n+1) = -\frac{1}{3}p_0(n) + \frac{1}{3} $$

を得る。これを等比数列の形に変形すると、

$$ p_0(n+1) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{3} \left( p_0(n) - \frac{1}{4} \right) $$

となる。数列 $\left\{ p_0(n) - \frac{1}{4} \right\}$ は、初項が $p_0(0) - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$、公比が $-\frac{1}{3}$ の等比数列であるから、一般項は

$$ p_0(n) - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \left( -\frac{1}{3} \right)^n $$

すなわち、

$$ p_0(n) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \left( -\frac{1}{3} \right)^n $$

となる。 また、$p_1(n)$ は $p_0(n+1) = p_1(n)$ の関係から、

$$ \begin{aligned} p_1(n) &= p_0(n+1) \\ &= \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \left( -\frac{1}{3} \right)^{n+1} \\ &= \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{3} \right)^n \end{aligned} $$

と求められる。

解説

推移確率行列や状態遷移図を考える典型的な確率漸化式の問題である。 空間的な対称性がある場合、複数の状態の確率が等しくなること（本問では $p_1(n) = p_2(n) = p_3(n)$）を積極的に利用することで、連立漸化式を容易に1変数の漸化式に帰着させることができる。(1)は図形的対称性から自明とも言えるが、問題の要求通りに数学的帰納法を用いて丁寧に証明する必要がある。 (2)において $p_0(n+1) = p_1(n)$ という簡潔な関係式が導かれることに気づくと計算がスムーズになる。

答え

(1)

略（解法1の証明を参照）

(2)

$$ p_0(n) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \left( -\frac{1}{3} \right)^n, \quad p_1(n) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{3} \right)^n $$