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東京大学 1980年理系第4問解説

方針・初手

$x$ と $y$ はともに $\sin t$ と $\cos t$ の対称式で構成されていることに着目する。$x = \sin t + \cos t$ を $2$ 乗することで $\sin t \cos t$ を $x$ の式で表し、距離の $2$ 乗 $L = x^2 + y^2$ を $x$ のみの関数として定式化する。さらに計算を簡略化するため $X = x^2$ と置き換え、$X$ のとりうる値の範囲を求めたうえで微分を用いて最大値と最小値を調べる。

解法1

原点と動点 $P(x, y)$ の間の距離の $2$ 乗を $L$ とおく。

$$ L = x^2 + y^2 $$

まず、$x = \sin t + \cos t$ の両辺を $2$ 乗すると、

$$ x^2 = (\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t = 1 + 2\sin t \cos t $$

これより、

$$ \sin t \cos t = \frac{x^2 - 1}{2} $$

となる。これを $y$ の式に代入すると、

$$ y = k \sin^2 t \cos^2 t = k (\sin t \cos t)^2 = k \left( \frac{x^2 - 1}{2} \right)^2 = \frac{k}{4}(x^2 - 1)^2 $$

したがって、$L$ を $x$ の関数として表すと以下のようになる。

$$ L = x^2 + \left\{ \frac{k}{4}(x^2 - 1)^2 \right\}^2 = x^2 + \frac{k^2}{16}(x^2 - 1)^4 $$

次に、$x$ のとりうる値の範囲を求める。三角関数の合成を用いると、

$$ x = \sin t + \cos t = \sqrt{2} \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right) $$

$t$ はすべての実数 $(-\infty < t < \infty)$ をとるため、$-1 \leqq \sin \left( t + \frac{\pi}{4} \right) \leqq 1$ であり、$x$ の範囲は以下のようになる。

$$ -\sqrt{2} \leqq x \leqq \sqrt{2} $$

ここで、計算を見やすくするため $X = x^2$ とおく。$x$ の範囲より $X$ のとりうる値の範囲は、

$$ 0 \leqq X \leqq 2 $$

となる。$L$ を $X$ の関数 $f(X)$ とおくと、

$$ f(X) = X + \frac{k^2}{16}(X - 1)^4 $$

この関数 $f(X)$ の $0 \leqq X \leqq 2$ における最大値と最小値を求める。$X$ で微分すると、

$$ f'(X) = 1 + \frac{k^2}{16} \cdot 4(X - 1)^3 = 1 + \frac{k^2}{4}(X - 1)^3 $$

$f'(X) = 0$ となる $X$ を求める。

$$ \frac{k^2}{4}(X - 1)^3 = -1 $$

$$ (X - 1)^3 = -\frac{4}{k^2} $$

実数の範囲で解くと、

$$ X - 1 = -\left( \frac{4}{k^2} \right)^{\frac{1}{3}} $$

$$ X = 1 - \left( \frac{4}{k^2} \right)^{\frac{1}{3}} $$

ここで、$\alpha = 1 - \left( \frac{4}{k^2} \right)^{\frac{1}{3}}$ とおく。$k > 0$ であり、$k$ の値によって $\alpha$ が区間 $0 \leqq X \leqq 2$ に含まれるかどうかが変わるため、場合分けを行う。$\alpha \geqq 0$ となる条件は、

$$ 1 - \left( \frac{4}{k^2} \right)^{\frac{1}{3}} \geqq 0 $$

$$ \left( \frac{4}{k^2} \right)^{\frac{1}{3}} \leqq 1 $$

$$ \frac{4}{k^2} \leqq 1 $$

$$ k^2 \geqq 4 $$

$k > 0$ より $k \geqq 2$ となる。

(i)

$0 < k < 2$ のとき

このとき $\frac{4}{k^2} > 1$ であるから、$\alpha < 0$ となる。したがって、$0 \leqq X \leqq 2$ の範囲では常に $X > \alpha$ であり、

$$ (X - 1)^3 > (\alpha - 1)^3 = -\frac{4}{k^2} $$

が成り立つため、$f'(X) > 0$ となる。よって $f(X)$ はこの区間で単調に増加する。最大値は $X = 2$ のときで、

$$ f(2) = 2 + \frac{k^2}{16}(2 - 1)^4 = 2 + \frac{k^2}{16} $$

最小値は $X = 0$ のときで、

$$ f(0) = 0 + \frac{k^2}{16}(0 - 1)^4 = \frac{k^2}{16} $$

(ii)

$k \geqq 2$ のとき

このとき $0 < \frac{4}{k^2} \leqq 1$ であるから、$0 \leqq \alpha < 1$ となる。区間 $0 \leqq X \leqq 2$ における $f(X)$ の増減は以下のようになる。

$0 \leqq X < \alpha$ のとき、$X - 1 < \alpha - 1$ より $f'(X) < 0$
$X = \alpha$ のとき、$f'(X) = 0$
$\alpha < X \leqq 2$ のとき、$X - 1 > \alpha - 1$ より $f'(X) > 0$

したがって、$f(X)$ は $X = \alpha$ で極小かつ最小となる。その最小値 $f(\alpha)$ を計算する。 $(\alpha - 1)^3 = -\frac{4}{k^2}$ であることを用いると、

$$ \begin{aligned} f(\alpha) &= \alpha + \frac{k^2}{16}(\alpha - 1)^4 \\ &= \alpha + \frac{k^2}{16}(\alpha - 1)^3 (\alpha - 1) \\ &= \alpha + \frac{k^2}{16} \left( -\frac{4}{k^2} \right) (\alpha - 1) \\ &= \alpha - \frac{1}{4}(\alpha - 1) \\ &= \frac{3}{4}\alpha + \frac{1}{4} \end{aligned} $$

$\alpha = 1 - \left( \frac{4}{k^2} \right)^{\frac{1}{3}}$ を代入して、

$$ \begin{aligned} f(\alpha) &= \frac{3}{4} \left\{ 1 - \left( \frac{4}{k^2} \right)^{\frac{1}{3}} \right\} + \frac{1}{4} \\ &= 1 - \frac{3}{4} \left( \frac{4}{k^2} \right)^{\frac{1}{3}} \end{aligned} $$

一方、最大値は区間の両端 $f(0)$ と $f(2)$ の大きい方となる。

$$ f(0) = \frac{k^2}{16} $$

$$ f(2) = 2 + \frac{k^2}{16} $$

明らかに $f(2) > f(0)$ であるから、最大値は $f(2) = 2 + \frac{k^2}{16}$ となる。

以上（i）, （ii）より、最大値および最小値が求まる。

解説

本問は、媒介変数表示された曲線上における原点からの距離の最大値・最小値を求める典型的な微分法の問題である。対称式に着目して変数を減らし、さらに $X = x^2$ と置き換えることで計算量を劇的に減らすことができる。極値をとる $X$ の値 $\alpha$ がパラメータ $k$ によって定義域内に入るかどうかで場合分けを行う論理の正確さが問われている。最小値を求める際の $f(\alpha)$ の計算では、まともに代入するのではなく、$(\alpha - 1)^3 = -\frac{4}{k^2}$ という関係式を用いて次数を下げる工夫をすると計算ミスを防ぐことができる。