東京大学 1995年 理系 第6問 解説

方針・初手

（1） は、双曲線上の点 $P$ の座標を文字でおき、接線の方程式を立てる。次に、2つの漸近線の方程式と連立させて交点 $Q, R$ の座標を求め、原点 $O$ との三角形の面積公式 $S = \frac{1}{2}|x_Q y_R - x_R y_Q|$ を計算する。計算の過程で $P$ の座標が消去され、$a, b$ の式になることを示せばよい。

（2） は、(1) の結果から $S$ を $t$ の関数として表し、微分して増減表を書き、最小値を求める典型的な微分の問題である。

解法1

(1)

双曲線上の点 $P$ の座標を $(x_0, y_0)$ とおくと、

$$ \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1 $$

が成り立つ。

点 $P$ における接線の方程式は、

$$ \frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0 y}{b^2} = 1 $$

である。

双曲線の漸近線の方程式は $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ および $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ である。

接線と漸近線 $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ （すなわち $y = \frac{b}{a}x$）の交点 $Q$ を求める。接線の方程式に代入して、

$$ \frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0}{b^2} \cdot \frac{b}{a}x = 1 $$

$$ \frac{1}{a} \left( \frac{x_0}{a} - \frac{y_0}{b} \right) x = 1 $$

ここで、点 $P(x_0, y_0)$ は双曲線上にあるため $\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1 \neq 0$ であり、$\frac{x_0}{a} - \frac{y_0}{b} \neq 0$ である。よって、

$$ \begin{aligned} x &= \frac{a}{\frac{x_0}{a} - \frac{y_0}{b}} \\ y &= \frac{b}{a}x = \frac{b}{\frac{x_0}{a} - \frac{y_0}{b}} \end{aligned} $$

したがって、点 $Q$ の座標は以下のようになる。

$$ Q \left( \frac{a}{\frac{x_0}{a} - \frac{y_0}{b}}, \frac{b}{\frac{x_0}{a} - \frac{y_0}{b}} \right) $$

同様に、接線と漸近線 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ （すなわち $y = -\frac{b}{a}x$）の交点 $R$ を求める。接線の方程式に代入して、

$$ \frac{x_0 x}{a^2} - \frac{y_0}{b^2} \left( -\frac{b}{a}x \right) = 1 $$

$$ \frac{1}{a} \left( \frac{x_0}{a} + \frac{y_0}{b} \right) x = 1 $$

$\frac{x_0}{a} + \frac{y_0}{b} \neq 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} x &= \frac{a}{\frac{x_0}{a} + \frac{y_0}{b}} \\ y &= -\frac{b}{a}x = \frac{-b}{\frac{x_0}{a} + \frac{y_0}{b}} \end{aligned} $$

したがって、点 $R$ の座標は以下のようになる。

$$ R \left( \frac{a}{\frac{x_0}{a} + \frac{y_0}{b}}, \frac{-b}{\frac{x_0}{a} + \frac{y_0}{b}} \right) $$

三角形 $OQR$ の面積 $S$ は、原点 $O$ と $Q, R$ を頂点とする三角形の面積公式より、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} | x_Q y_R - x_R y_Q | \\ &= \frac{1}{2} \left| \frac{a}{\frac{x_0}{a} - \frac{y_0}{b}} \cdot \frac{-b}{\frac{x_0}{a} + \frac{y_0}{b}} - \frac{a}{\frac{x_0}{a} + \frac{y_0}{b}} \cdot \frac{b}{\frac{x_0}{a} - \frac{y_0}{b}} \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| \frac{-ab}{\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2}} - \frac{ab}{\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2}} \right| \end{aligned} $$

ここで、点 $P$ は双曲線上の点であるから $\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1$ を用いると、

$$ S = \frac{1}{2} | -ab - ab | = \frac{1}{2} | -2ab | = ab $$

条件より $a>0, b>0$ であるため、$S = ab$ となる。 よって、面積 $S$ は点 $P$ のとり方によらず、$a, b$ のみによって定まることが示された。

(2)

(1) の結果より、$S = ab$ である。与えられた $a = 5e^{2t} + e^{-t}$ と $b = e^{2t} + e^{-t}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} S &= (5e^{2t} + e^{-t})(e^{2t} + e^{-t}) \\ &= 5e^{4t} + 5e^{t} + e^{t} + e^{-2t} \\ &= 5e^{4t} + 6e^{t} + e^{-2t} \end{aligned} $$

これを $t$ の関数とみなし、$f(t) = 5e^{4t} + 6e^{t} + e^{-2t}$ とおく。 $t$ について微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(t) &= 20e^{4t} + 6e^{t} - 2e^{-2t} \\ &= 2e^{-2t} (10e^{6t} + 3e^{3t} - 1) \\ &= 2e^{-2t} (5e^{3t} - 1)(2e^{3t} + 1) \end{aligned} $$

ここで、すべての実数 $t$ において $e^{-2t} > 0$ であり、$2e^{3t} + 1 > 0$ であるため、$f'(t)$ の符号は $5e^{3t} - 1$ の符号と一致する。

$f'(t) = 0$ となるのは $5e^{3t} - 1 = 0$、すなわち $e^{3t} = \frac{1}{5}$ のときである。 このとき、両辺の自然対数をとると $3t = -\log 5$ より $t = -\frac{1}{3} \log 5$ である。 増減表は以下のようになる。

$t$	$\cdots$	$-\frac{1}{3}\log 5$	$\cdots$
$f'(t)$	$-$	$0$	$+$
$f(t)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$

したがって、$f(t)$ は $e^{3t} = \frac{1}{5}$ のとき最小値をとる。 最小値を求めるために式を整理する。

$$ f(t) = e^{-2t} (5e^{6t} + 6e^{3t} + 1) $$

において、$e^{3t} = \frac{1}{5}$ のとき $e^{6t} = \frac{1}{25}$ であり、

$$ 5e^{6t} + 6e^{3t} + 1 = 5 \cdot \frac{1}{25} + 6 \cdot \frac{1}{5} + 1 = \frac{1}{5} + \frac{6}{5} + 1 = \frac{12}{5} $$

また、$e^{-2t} = (e^{3t})^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-\frac{2}{3}} = 5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{25}$ である。

よって、求める最小値は、

$$ S = \sqrt[3]{25} \cdot \frac{12}{5} = \frac{12\sqrt[3]{25}}{5} $$

解法2

(1)の別解

双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $P$ は、媒介変数 $\theta$ を用いて

$$ P \left( \frac{a}{\cos \theta}, b \tan \theta \right) \quad \left( \cos \theta \neq 0 \right) $$

と表すことができる。

この点における接線の方程式は、

$$ \frac{x}{a \cos \theta} - \frac{y \tan \theta}{b} = 1 $$

である。

接線と漸近線 $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ （すなわち $y = \frac{b}{a}x$）との交点 $Q$ を求める。これを接線の方程式に代入して、

$$ \begin{aligned} \frac{x}{a \cos \theta} - \frac{x \tan \theta}{a} &= 1 \\ \frac{x}{a} \left( \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta} \right) &= 1 \end{aligned} $$

ここで、点 $P$ が存在することから $1 - \sin \theta \neq 0$ となり、

$$ \begin{aligned} x &= \frac{a \cos \theta}{1 - \sin \theta} \\ y &= \frac{b \cos \theta}{1 - \sin \theta} \end{aligned} $$

となる。

同様に、接線と漸近線 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ （すなわち $y = -\frac{b}{a}x$）との交点 $R$ を求める。これを接線の方程式に代入して、

$$ \begin{aligned} \frac{x}{a \cos \theta} + \frac{x \tan \theta}{a} &= 1 \\ \frac{x}{a} \left( \frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta} \right) &= 1 \end{aligned} $$

$1 + \sin \theta \neq 0$ より、

$$ \begin{aligned} x &= \frac{a \cos \theta}{1 + \sin \theta} \\ y &= -\frac{b \cos \theta}{1 + \sin \theta} \end{aligned} $$

となる。

三角形 $OQR$ の面積 $S$ は、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} | x_Q y_R - x_R y_Q | \\ &= \frac{1}{2} \left| \frac{a \cos \theta}{1 - \sin \theta} \cdot \frac{-b \cos \theta}{1 + \sin \theta} - \frac{a \cos \theta}{1 + \sin \theta} \cdot \frac{b \cos \theta}{1 - \sin \theta} \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| \frac{-ab \cos^2 \theta}{1 - \sin^2 \theta} - \frac{ab \cos^2 \theta}{1 - \sin^2 \theta} \right| \end{aligned} $$

$1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ であり、$\cos \theta \neq 0$ であるから、

$$ S = \frac{1}{2} | -ab - ab | = \frac{1}{2} | -2ab | = ab $$

よって、$S$ は点 $P$ のとり方によらず、$a, b$ によって定まる。（証明終）

解説

• 「双曲線の任意の点における接線が2つの漸近線と交わってできる三角形の面積は常に一定（$ab$）である」という、二次曲線の有名な性質を証明する問題である。
• (1) は交点の座標を直接求めて面積公式に代入するだけで証明できる。途中で分母が $0$ にならないこと（$\frac{x_0}{a} \pm \frac{y_0}{b} \neq 0$）の記述を忘れないようにしたい。また、解法2のように三角関数を用いた媒介変数表示をすると、計算の見通しが良くなる。
• (2) は微分を用いて最小値を求める典型的な問題である。導関数を求めた後、$e^{3t}$ を一つのまとまりとみて因数分解できるかに気づけるかがポイントとなる。最小値を求めるときの代入計算は、$f(t)$ をうまくくくり出して工夫すると計算ミスを防げる。

答え

(1)

略（解法1の証明を参照）

(2)

$\frac{12\sqrt[3]{25}}{5}$ （または $\frac{12}{\sqrt[3]{5}}$）