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東京工業大学 1983年理系第5問解説

注意問題文の通りに各方程式を解釈すると、2直線 $l_1, l_2$ の交点の $x$ 座標が常に負となるため、$x>0$ の範囲において指定の3曲線だけで囲まれる閉領域は存在しない。これは出題上の設定ミスの可能性が高いが、本解説では出題の意図を汲み取り、各グラフの交点の $x$ 座標を区間の端点とする定積分の和を「面積 $S(t)$」とみなして解答を作成する。

方針・初手

接線 $l_2$ の方程式を求める。
曲線 $C: y = -\frac{3}{x}$ と $l_1$、および $C$ と $l_2$ の交点を求める。さらに $l_1$ と $l_2$ の交点を求める。
求まった3つの交点の $x$ 座標を境界として、出題意図と考えられる積分区間を設定し、定積分を計算して $S(t)$ を立式する。
$S(t)$ を $t$ で微分し、増減表から $t > 1$ における最小値を求める。

解法1

曲線 $y = \frac{1}{x}$ について $y' = -\frac{1}{x^2}$ であるから、点 $P \left( t, \frac{1}{t} \right)$ における接線 $l_2$ の方程式は

$$ y - \frac{1}{t} = -\frac{1}{t^2} (x - t) $$

整理して

$$ y = -\frac{1}{t^2} x + \frac{2}{t} $$

となる。

次に、各グラフの交点の $x$ 座標を求める。曲線 $C: y = -\frac{3}{x}$ と直線 $l_1: y = -x - 2$ の交点は

$$ -\frac{3}{x} = -x - 2 $$

$$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$

$$ (x+3)(x-1) = 0 $$

$x > 0$ より $x = 1$ である。この交点を $A(1, -3)$ とする。

曲線 $C$ と直線 $l_2$ の交点は

$$ -\frac{3}{x} = -\frac{1}{t^2} x + \frac{2}{t} $$

両辺に $t^2 x$ を掛けて整理すると

$$ x^2 - 2tx - 3t^2 = 0 $$

$$ (x - 3t)(x + t) = 0 $$

$t > 1 > 0$ かつ $x > 0$ より $x = 3t$ である。この交点を $B \left( 3t, -\frac{1}{t} \right)$ とする。

直線 $l_1$ と $l_2$ の交点は

$$ -x - 2 = -\frac{1}{t^2} x + \frac{2}{t} $$

$$ \frac{t^2 - 1}{t^2} x = \frac{2(1 + t)}{t} $$

$t > 1$ より $t^2 - 1 \neq 0$ であるから

$$ x = \frac{2t(1+t)}{(t-1)(t+1)} = \frac{-2t}{t-1} $$

となる。この交点を $Q$ とし、その $x$ 座標を $\alpha = -\frac{2t}{t-1}$ とおく。

ここで出題意図に従い、これら3つの交点 $Q, A, B$ を頂点とするような積分を面積 $S(t)$ として立式する。積分区間 $[\alpha, 3t]$ において上端を $l_2$、下端を区間 $[\alpha, 1]$ で $l_1$、区間 $[1, 3t]$ で $C$ と解釈し、次のように計算する。

$$ S(t) = \int_{\alpha}^{3t} l_2 \, dx - \int_{\alpha}^{1} l_1 \, dx - \int_{1}^{3t} C \, dx $$

前半の2つの積分は直線の下部の面積であるため、台形の面積として計算できる。

$$ \int_{\alpha}^{3t} l_2 \, dx = \frac{1}{2} (3t - \alpha) \{ l_2(3t) + l_2(\alpha) \} $$

$$ \int_{\alpha}^{1} l_1 \, dx = \frac{1}{2} (1 - \alpha) \{ l_1(1) + l_1(\alpha) \} $$

$l_2(\alpha) = l_1(\alpha) = -\alpha - 2 = \frac{2t}{t-1} - 2 = \frac{2}{t-1}$ であり、各値を代入すると

$$ \int_{\alpha}^{3t} l_2 \, dx = \frac{1}{2} \left( 3t + \frac{2t}{t-1} \right) \left( -\frac{1}{t} + \frac{2}{t-1} \right) = \frac{t(3t-1)}{2(t-1)} \cdot \frac{t+1}{t(t-1)} = \frac{(3t-1)(t+1)}{2(t-1)^2} $$

$$ \int_{\alpha}^{1} l_1 \, dx = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{2t}{t-1} \right) \left( -3 + \frac{2}{t-1} \right) = \frac{3t-1}{2(t-1)} \cdot \frac{-3t+5}{t-1} = \frac{(3t-1)(-3t+5)}{2(t-1)^2} $$

これらの差をとると

$$ \int_{\alpha}^{3t} l_2 \, dx - \int_{\alpha}^{1} l_1 \, dx = \frac{3t-1}{2(t-1)^2} \{ (t+1) - (-3t+5) \} = \frac{(3t-1)(4t-4)}{2(t-1)^2} = \frac{2(3t-1)}{t-1} = 6 + \frac{4}{t-1} $$

また、$C$ の積分は

$$ \int_{1}^{3t} \left( -\frac{3}{x} \right) dx = \left[ -3 \log x \right]_{1}^{3t} = -3 \log(3t) $$

したがって、面積 $S(t)$ は

$$ S(t) = 6 + \frac{4}{t-1} + 3 \log(3t) $$

となる。これを $t$ について微分すると

$$ S'(t) = -\frac{4}{(t-1)^2} + \frac{3}{t} = \frac{3(t-1)^2 - 4t}{t(t-1)^2} = \frac{3t^2 - 10t + 3}{t(t-1)^2} = \frac{(3t-1)(t-3)}{t(t-1)^2} $$

$t > 1$ における $S'(t) = 0$ の解は $t = 3$ であり、増減表は以下のようになる。

$t$	$(1)$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$S'(t)$		$-$	$0$	$+$
$S(t)$		$\searrow$	極小かつ最小	$\nearrow$

ゆえに、$S(t)$ は $t=3$ のとき最小値をとる。最小値は

$$ S(3) = 6 + \frac{4}{2} + 3 \log 9 = 8 + 6 \log 3 $$

解説

本問は、指示された境界線で閉領域が構成できないという幾何学的な設定ミスを含むが、数式処理の観点からは、交点の $x$ 座標 $\alpha, 1, 3t$ を用いた定積分 $S(t)$ が $t=3$ で極小値を持つように美しく設計されている。

途中の直線に関する定積分は、まともに原始関数を求めて代入すると計算が煩雑になるが、1次関数の定積分が台形の面積と一致することを利用すると、計算量を大幅に減らすことができる。特に上端の関数 $l_2$ と下端の関数 $l_1$ が $x=\alpha$ で一致しているため、括り出しによって計算が劇的に楽になるのがポイントである。