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京都大学 2017年理系第5問解説

方針・初手

$y = xe^{-x}$ と $y = ax$ の交点の $x$ 座標を調べ、積分区間 $0 \leq x \leq \sqrt{2}$ における2つの曲線の上下関係を把握します。交点の $x$ 座標が区間内にあるかどうかによって場合分けを行い、面積 $S(a)$ を定積分で表します。交点が区間内にある場合は、交点の $x$ 座標を $t$ とおき、$S(a)$ を $t$ の関数として整理してから微分することで最小値を求めると計算がスムーズです。

解法1

$f(x) = xe^{-x}$、$g(x) = ax$ とおく。

$$ f(x) - g(x) = x(e^{-x} - a) $$

$x > 0$ において $f(x) = g(x)$ となるのは $e^{-x} = a$ のときである。

$a = 0$ のとき、交点は $x = 0$ のみであり、$0 < x \leq \sqrt{2}$ において $f(x) > g(x)$ である。

$a > 0$ のとき、交点の $x$ 座標は $x = -\log a$ である。この交点の $x$ 座標を $t$ とおく。すなわち $a = e^{-t}$ である。

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$ における $t$ の位置によって3つの場合に分けて考える。

(i) $t \leq 0$ すなわち $a \geq 1$ のとき

$0 < x \leq \sqrt{2}$ において $e^{-x} < 1 \leq a$ であるから $f(x) < g(x)$ となる。

$$ S(a) = \int_0^{\sqrt{2}} (ax - xe^{-x})\,dx = a\int_0^{\sqrt{2}} x\,dx - \int_0^{\sqrt{2}} xe^{-x}\,dx $$

$$ = a \cdot 1 - \Big[-(x+1)e^{-x}\Big]_0^{\sqrt{2}} = a - \big(1 - (\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}\big) = a - 1 + (\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}} $$

これは $a$ に関して単調増加であるから、$a \geq 1$ における最小値は $a = 1$ のときの $S(1) = (\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}$ である。

(ii) $t \geq \sqrt{2}$ すなわち $0 \leq a \leq e^{-\sqrt{2}}$ のとき

$0 < x < \sqrt{2}$ において $e^{-x} > e^{-\sqrt{2}} \geq a$ であるから $f(x) > g(x)$ となる。

$$ S(a) = \int_0^{\sqrt{2}} (xe^{-x} - ax)\,dx = \Big[-(x+1)e^{-x}\Big]_0^{\sqrt{2}} - a \cdot 1 $$

$$ = \big(1 - (\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}}\big) - a = 1 - (\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}} - a $$

これは $a$ に関して単調減少であるから、$0 \leq a \leq e^{-\sqrt{2}}$ における最小値は $a = e^{-\sqrt{2}}$ のときの $S(e^{-\sqrt{2}}) = 1 - (\sqrt{2}+2)e^{-\sqrt{2}}$ である。

(iii) $0 < t < \sqrt{2}$ すなわち $e^{-\sqrt{2}} < a < 1$ のとき

$0 < x < t$ において $f(x) > g(x)$、$t < x < \sqrt{2}$ において $f(x) < g(x)$ である。

$$ S(a) = \int_0^t (xe^{-x} - ax)\,dx + \int_t^{\sqrt{2}} (ax - xe^{-x})\,dx $$

ここで、不定積分 $\displaystyle\int xe^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x} + C$ を用いると、

$$ S = \Big[-(x+1)e^{-x}\Big]_0^t - a\cdot\frac{t^2}{2} + a\cdot\frac{2-t^2}{2} - \Big[-(x+1)e^{-x}\Big]_t^{\sqrt{2}} $$

$$ = \big(1-(t+1)e^{-t}\big) - \frac{at^2}{2} + \frac{a(2-t^2)}{2} + (\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}} - (t+1)e^{-t} $$

$$ = 1 + (\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}} - 2(t+1)e^{-t} + a(1-t^2) $$

$a = e^{-t}$ を代入して $t$ の関数 $S_1(t)$ とみなして整理する。

$$ S_1(t) = 1 + (\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}} - 2(t+1)e^{-t} + (1-t^2)e^{-t} $$

$$ = 1 + (\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}} + e^{-t}(-t^2 - 2t - 1) = 1 + (\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}} - (t+1)^2 e^{-t} $$

$0 < t < \sqrt{2}$ の範囲で $S_1(t)$ の増減を調べるために $t$ で微分する。

$$ S_1'(t) = -\frac{d}{dt}\big[(t+1)^2 e^{-t}\big] = -\big[2(t+1)e^{-t} - (t+1)^2 e^{-t}\big] = (t+1)(t-1)e^{-t} $$

$S_1'(t) = 0$ となる正の数 $t$ は $t = 1$ である。

増減表は以下のようになる。

$t$	$(0)$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$(\sqrt{2})$
$S_1'(t)$		$-$	$0$	$+$
$S_1(t)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

したがって、$S_1(t)$ は $t = 1$ のとき極小かつ最小となる。

このとき、

$$ S_1(1) = 1 + (\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}} - (1+1)^2 e^{-1} = 1 + (\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}} - \frac{4}{e} $$

ここで、$a = e^{-t}$ より $t$ は $a$ について単調に変化し、(i) および (ii) の境界値と (iii) の端点は連続してつながっているため、全体を通してもこの極小値が最小値となる。

解説

面積をパラメータの関数として表し、その最小値を求める微積分・面積の典型問題です。

絶対値の定積分と同様に、被積分関数の符号（グラフの上下関係）が変わる点で積分区間を分割する必要があります。本問では交点の $x$ 座標がパラメータ $a$ に依存するため、交点が積分区間 $0 \leq x \leq \sqrt{2}$ の内にあるか外にあるかでの場合分けが必須です。

場合分け (iii) の計算においては、$a$ のまま微分するアプローチもありますが、交点の $x$ 座標 $t$ を媒介変数として面積を $t$ だけで表すのが効果的です。$a = e^{-t}$ の関係を利用して $a$ を消去することで、比較的すっきりとした $t$ の関数 $S_1(t) = 1 + (\sqrt{2}+1)e^{-\sqrt{2}} - (t+1)^2 e^{-t}$ に帰着でき、積の微分法によって簡明に極小値を求めることができます。