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北海道大学 1998年理系第2問解説

方針・初手

(1) 曲線上の点における接線の方程式を求め、それが原点を通るという条件式を立てる。接点の $x$ 座標を文字でおいて方程式を解く。その際、定義域から定まる文字のとりうる値の範囲に注意する。

(2) $x$ 軸のまわりの回転体の体積を求める公式 $V = \pi \int y^2 dx$ に代入し、定積分を計算する。被積分関数に $(\log x)^2$ が含まれるため、部分積分法を用いて計算を進める。

解法1

(1)

関数 $y = \sqrt{1 - (\log x)^2}$ を $f(x)$ とおく。定義域は $1 - (\log x)^2 \geqq 0$ より $-1 \leqq \log x \leqq 1$、すなわち $\frac{1}{e} \leqq x \leqq e$ である。

$\frac{1}{e} < x < e$ において $f(x)$ を微分すると、合成関数の微分法より

$$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 - (\log x)^2}} \cdot \left\{ -2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \right\} = -\frac{\log x}{x\sqrt{1 - (\log x)^2}} $$

となる。

点 $A$ の $x$ 座標を $t$ $\left(\frac{1}{e} < t < e\right)$ とすると、点 $A(t, f(t))$ における接線の方程式は

$$ y - f(t) = f'(t)(x - t) $$

と表される。この接線が原点 $(0, 0)$ を通るので、 $x = 0, y = 0$ を代入して

$$ -f(t) = -t f'(t) $$

$$ f(t) = t f'(t) $$

が成り立つ。関数と導関数の式を代入すると

$$ \sqrt{1 - (\log t)^2} = t \left( -\frac{\log t}{t\sqrt{1 - (\log t)^2}} \right) $$

$$ \sqrt{1 - (\log t)^2} = -\frac{\log t}{\sqrt{1 - (\log t)^2}} $$

となる。 $\frac{1}{e} < t < e$ より $\sqrt{1 - (\log t)^2} > 0$ であるから、両辺に $\sqrt{1 - (\log t)^2}$ を掛けて整理すると

$$ 1 - (\log t)^2 = -\log t $$

$$ (\log t)^2 - \log t - 1 = 0 $$

となる。これを $\log t$ についての2次方程式とみて解くと

$$ \log t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $$

を得る。ここで、 $\frac{1}{e} < t < e$ より $-1 < \log t < 1$ である。

$2 < \sqrt{5} < 3$ であるから

$$ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} > \frac{1 + 2}{2} = 1.5 > 1 $$

$$ -1 = \frac{1 - 3}{2} < \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < \frac{1 - 2}{2} = -0.5 $$

となる。したがって、条件を満たすのは $\log t = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ のみである。

ゆえに、点 $A$ の $x$ 座標は

$$ t = e^{\frac{1 - \sqrt{5}}{2}} $$

である。

(2)

求める立体の体積を $V$ とすると、回転体の体積の公式より

$$ V = \pi \int_{\frac{1}{e}}^{e} y^2 dx = \pi \int_{\frac{1}{e}}^{e} \left\{ 1 - (\log x)^2 \right\} dx $$

となる。ここで、不定積分 $\int (\log x)^2 dx$ を部分積分法により計算する。

$$ \begin{aligned} \int (\log x)^2 dx &= \int 1 \cdot (\log x)^2 dx \\ &= x (\log x)^2 - \int x \cdot \left\{ 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \right\} dx \\ &= x (\log x)^2 - 2 \int \log x dx \\ &= x (\log x)^2 - 2(x \log x - x) + C \quad (C は積分定数) \\ &= x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C \end{aligned} $$

この結果を用いると、体積 $V$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} V &= \pi \int_{\frac{1}{e}}^{e} 1 dx - \pi \int_{\frac{1}{e}}^{e} (\log x)^2 dx \\ &= \pi \left[ x \right]_{\frac{1}{e}}^{e} - \pi \left[ x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x \right]_{\frac{1}{e}}^{e} \\ &= \pi \left( e - \frac{1}{e} \right) - \pi \left\{ \left( e \cdot 1^2 - 2e \cdot 1 + 2e \right) - \left( \frac{1}{e} \cdot (-1)^2 - 2 \cdot \frac{1}{e} \cdot (-1) + 2 \cdot \frac{1}{e} \right) \right\} \\ &= \pi \left( e - \frac{1}{e} \right) - \pi \left\{ (e - 2e + 2e) - \left( \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + \frac{2}{e} \right) \right\} \\ &= \pi \left( e - \frac{1}{e} \right) - \pi \left( e - \frac{5}{e} \right) \\ &= \frac{4\pi}{e} \end{aligned} $$

解説

微積分における標準的な問題である。

(1) では接線の方程式を立てて条件を代入する、いわゆる「接点をおく」という基本手順に従う。得られた方程式は $\log t$ の2次方程式となるが、無理数解となるため、問題文の定義域から定まる $\log t$ の範囲（$-1 \leqq \log t \leqq 1$）を適切に評価して解を絞り込む必要がある。無理数の大小評価を怠らないようにしたい。

(2) は $x$ 軸まわりの回転体の体積である。公式に当てはめると $(\log x)^2$ の定積分が現れる。これは $\int 1 \cdot (\log x)^2 dx$ とみて部分積分を2回繰り返す典型的な計算であり、頻出の積分であるため確実に計算しきれるようにしておきたい。