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東京大学 2002年理系第1問解説

方針・初手

2つの放物線の方程式から $y$ を消去し、$x$ についての方程式を作成する。2つの放物線が相異なる2点で交わるための条件は、この方程式が相異なる2つの実数解をもつことである。得られた方程式から三角不等式を導き、一般角 $\theta$ の範囲を求める。

解法1

2つの放物線の方程式

$$ y = 2\sqrt{3}(x - \cos\theta)^2 + \sin\theta $$

$$ y = -2\sqrt{3}(x + \cos\theta)^2 - \sin\theta $$

から $y$ を消去すると、

$$ 2\sqrt{3}(x - \cos\theta)^2 + \sin\theta = -2\sqrt{3}(x + \cos\theta)^2 - \sin\theta $$

となる。両辺を展開して整理すると、

$$ 2\sqrt{3}(x^2 - 2x\cos\theta + \cos^2\theta) + \sin\theta = -2\sqrt{3}(x^2 + 2x\cos\theta + \cos^2\theta) - \sin\theta $$

$$ 4\sqrt{3}x^2 + 4\sqrt{3}\cos^2\theta + 2\sin\theta = 0 $$

$$ 2\sqrt{3}x^2 + 2\sqrt{3}\cos^2\theta + \sin\theta = 0 $$

$$ x^2 = -\cos^2\theta - \frac{\sin\theta}{2\sqrt{3}} $$

2つの放物線が相異なる2点で交わるためには、この $x$ についての2次方程式が相異なる2つの実数解をもてばよい。したがって、右辺が正となることが条件であるから、

$$ -\cos^2\theta - \frac{\sin\theta}{2\sqrt{3}} > 0 $$

$$ 2\sqrt{3}\cos^2\theta + \sin\theta < 0 $$

ここで、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を代入すると、

$$ 2\sqrt{3}(1 - \sin^2\theta) + \sin\theta < 0 $$

$$ -2\sqrt{3}\sin^2\theta + \sin\theta + 2\sqrt{3} < 0 $$

両辺に $-1$ を掛けて、

$$ 2\sqrt{3}\sin^2\theta - \sin\theta - 2\sqrt{3} > 0 $$

左辺をたすき掛けにより因数分解すると、

$$ (\sqrt{3}\sin\theta - 2)(2\sin\theta + \sqrt{3}) > 0 $$

となる。全ての実数 $\theta$ に対して $-1 \leqq \sin\theta \leqq 1$ であるから、第1因数について

$$ \sqrt{3}\sin\theta - 2 \leqq \sqrt{3} - 2 < 0 $$

が常に成り立つ。よって、上の不等式を満たすための条件は、第2因数が負となることである。

$$ 2\sin\theta + \sqrt{3} < 0 $$

$$ \sin\theta < -\frac{\sqrt{3}}{2} $$

これを満たす一般角 $\theta$ の範囲を求めると、

$$ \frac{4}{3}\pi + 2n\pi < \theta < \frac{5}{3}\pi + 2n\pi \quad (n\text{は整数}) $$

となる。

解説

2つのグラフの交点の個数は、それらの方程式から $y$ を消去して得られる $x$ の方程式の実数解の個数に一致する。本問では $y$ を消去すると $x$ の1次の項が相殺され、$x^2 = (\text{定数})$ の形に帰着できるため、判別式を明示的に用いなくても右辺の符号を調べるだけで条件を立式できる。

後半の三角不等式の処理においては、$\sin\theta$ のとり得る値の範囲（$-1 \leqq \sin\theta \leqq 1$）を考慮して、$\sqrt{3}\sin\theta - 2 < 0$ を確定させることがポイントとなる。これにより、不等式の向きを正しく判断し、$\sin\theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を導くことができる。最後に一般角での解答が求められているため、$2n\pi$ を付加することを忘れないようにしたい。