東京大学 2002年 文系 第1問 解説

方針・初手

2つの放物線の方程式から $y$ を消去し、$x$ についての方程式を作成する。2つの放物線が相異なる2点で交わるための条件は、得られた $x$ の方程式が相異なる2つの実数解を持つことである。これを用いて $\theta$ についての不等式を導き、与えられた定義域内で解を求める。

解法1

与えられた2つの放物線の方程式は以下の通りである。

$$ y = 2\sqrt{3}(x - \cos\theta)^2 + \sin\theta $$

$$ y = -2\sqrt{3}(x + \cos\theta)^2 - \sin\theta $$

これらが相異なる2点で交わる条件は、これらを連立させて得られる $x$ についての方程式

$$ 2\sqrt{3}(x - \cos\theta)^2 + \sin\theta = -2\sqrt{3}(x + \cos\theta)^2 - \sin\theta $$

が相異なる2つの実数解を持つことである。

両辺を展開して整理する。

$$ 2\sqrt{3}(x^2 - 2x\cos\theta + \cos^2\theta) + \sin\theta = -2\sqrt{3}(x^2 + 2x\cos\theta + \cos^2\theta) - \sin\theta $$

$$ 2\sqrt{3}x^2 - 4\sqrt{3}x\cos\theta + 2\sqrt{3}\cos^2\theta + \sin\theta = -2\sqrt{3}x^2 - 4\sqrt{3}x\cos\theta - 2\sqrt{3}\cos^2\theta - \sin\theta $$

移項して整理すると、$x$ の1次の項が消去され、次のようになる。

$$ 4\sqrt{3}x^2 + 4\sqrt{3}\cos^2\theta + 2\sin\theta = 0 $$

両辺を2で割り、$x^2$ について解く形に変形する。

$$ 2\sqrt{3}x^2 = -2\sqrt{3}\cos^2\theta - \sin\theta $$

$$ x^2 = \frac{-2\sqrt{3}\cos^2\theta - \sin\theta}{2\sqrt{3}} $$

この $x$ についての方程式が相異なる2つの実数解を持つための条件は、右辺が正となることである。

$$ \frac{-2\sqrt{3}\cos^2\theta - \sin\theta}{2\sqrt{3}} > 0 $$

すなわち、

$$ -2\sqrt{3}\cos^2\theta - \sin\theta > 0 $$

$$ 2\sqrt{3}\cos^2\theta + \sin\theta < 0 $$

ここで、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を代入し、$\sin\theta$ だけの不等式にする。

$$ 2\sqrt{3}(1 - \sin^2\theta) + \sin\theta < 0 $$

$$ -2\sqrt{3}\sin^2\theta + \sin\theta + 2\sqrt{3} < 0 $$

両辺に $-1$ を掛けて符号を反転させる。

$$ 2\sqrt{3}\sin^2\theta - \sin\theta - 2\sqrt{3} > 0 $$

左辺を因数分解する。

$$ (2\sin\theta + \sqrt{3})(\sqrt{3}\sin\theta - 2) > 0 $$

すべての実数 $\theta$ に対して $-1 \leqq \sin\theta \leqq 1$ であり、$\sqrt{3} < 2$ であることから、

$$ \sqrt{3}\sin\theta - 2 \leqq \sqrt{3} - 2 < 0 $$

したがって、$\sqrt{3}\sin\theta - 2$ は常に負であるため、不等式が成り立つ条件は

$$ 2\sin\theta + \sqrt{3} < 0 $$

$$ \sin\theta < -\frac{\sqrt{3}}{2} $$

となる。

問題の条件より $0^\circ \leqq \theta < 360^\circ$ であるから、この範囲で不等式を解く。$\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は $240^\circ$ と $300^\circ$ である。

よって、求める $\theta$ の範囲は

$$ 240^\circ < \theta < 300^\circ $$

である。

解説

図形と方程式の交点条件を、代数的な方程式の実数解の条件に帰着させる標準的な問題である。連立方程式を整理した際、$x$ の1次の項がうまく消去されるため、判別式を用いずとも $x^2 = (\text{定数})$ の形から実数解を持つ条件（右辺が正）を導くことができる。

後半の三角関数の不等式では、$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ を用いて種類を統一し、2次不等式に帰着させる定石を用いる。因数分解した後に現れる $\sqrt{3}\sin\theta - 2$ の符号が常に負であることを正しく見抜けるかが、スムーズに解答を進めるポイントとなる。

答え

$$ 240^\circ < \theta < 300^\circ $$