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東京大学 2013年理系第5問解説

方針・初手

（1）は与えられた不等式の中辺を展開し、各式から共通する項を引くことで簡潔な不等式に帰着させる。$y$ は自然数という条件に注意しながら、$x$ についての2次不等式を解く。（2）は（1）で求めた不等式を評価に利用する。「1が連続して99回以上現れる」という条件をクリアするために、$x = 10^m$ ($m$ は十分大きい自然数) のような 10 の累乗の形を想定し、$x^3 + 3yx^2$ という項の中で $3y$ が $11 \dots 1$ という形になるよう $y$ を設定するのが鍵となる。

解法1

(1)

与えられた不等式の中辺を展開すると、

$$ (x+y-1)(x+y)(x+y+1) = (x+y)\{(x+y)^2 - 1\} = (x+y)^3 - (x+y) = x^3 + 3y x^2 + 3y^2 x + y^3 - x - y $$

となる。不等式の各辺から $x^3 + 3y x^2$ を引くと、

$$ 0 < 3y^2 x + y^3 - x - y < x^2 $$

すなわち、

$$ 0 < (3y^2 - 1)x + y(y^2 - 1) < x^2 $$

となる。これは次の2つの不等式（i）, （ii）を同時に満たすことと同値である。

(i)

$(3y^2 - 1)x + y(y^2 - 1) > 0$

(ii)

$x^2 - (3y^2 - 1)x - y(y^2 - 1) > 0$

まず、（i）について考える。 $y$ は自然数であるから $y \ge 1$ であり、これより $3y^2 - 1 \ge 2 > 0$、$y(y^2 - 1) \ge 0$ となる。したがって、正の実数 $x > 0$ において左辺は常に正となるため、不等式（i）は $x > 0$ で常に成り立つ。

次に、（ii）について解く。 $x$ についての2次方程式 $x^2 - (3y^2 - 1)x - y(y^2 - 1) = 0$ の解を求める。解の公式より、

$$ x = \frac{3y^2 - 1 \pm \sqrt{(3y^2 - 1)^2 + 4y(y^2 - 1)}}{2} $$

根号の中を整理すると、

$$ (3y^2 - 1)^2 + 4y(y^2 - 1) = 9y^4 - 6y^2 + 1 + 4y^3 - 4y = 9y^4 + 4y^3 - 6y^2 - 4y + 1 $$

ここで、$x=0$ を（ii）の左辺に代入すると $-y(y^2 - 1) \le 0$ であるから、この2次方程式は $0$ 以上の解と $0$ 以下の解をもつ。正の解を $\alpha$ とおくと、

$$ \alpha = \frac{3y^2 - 1 + \sqrt{9y^4 + 4y^3 - 6y^2 - 4y + 1}}{2} $$

よって、$x > 0$ において不等式（ii）を満たす実数 $x$ の範囲は $x > \alpha$ である。以上より、求める正の実数 $x$ の範囲は、

$$ x > \frac{3y^2 - 1 + \sqrt{9y^4 + 4y^3 - 6y^2 - 4y + 1}}{2} $$

(2)

(1)の不等式において $x, y$ を自然数とすれば、$A = (x+y-1)(x+y)(x+y+1)$ は連続する $3$ つの自然数の積となり、条件(a)を満たす。 $y$ を自然数としたとき、(1)より $x$ を $\alpha$ より大きな自然数とすれば、

$$ x^3 + 3y x^2 < A < x^3 + (3y+1)x^2 $$

すなわち、

$$ x^3 + 3y x^2 < A < x^3 + 3y x^2 + x^2 $$

が成り立つ。ここで、$10$ 進法で表したときに $1$ が $99$ 個連続する数を $K$ とおく。

$$ K = \underbrace{11 \dots 1}_{99\text{個}} $$

$K$ は各位の数の和が $99$ であり $3$ の倍数であるから、$K$ は $3$ で割り切れる。したがって $y = \frac{K}{3}$ は自然数である。この $y$ を固定し、$3y = K$ とする。次に、自然数 $m$ を $m \ge 99$ かつ $10^m > \alpha$ を満たすように十分大きくとり、$x = 10^m$ とおく。このとき $x > \alpha$ を満たすので、不等式に代入して、

$$ 10^{3m} + K \cdot 10^{2m} < A < 10^{3m} + K \cdot 10^{2m} + 10^{2m} $$

が成り立つ。左辺の数を $L$ とおくと、

$$ L = 10^{3m} + \underbrace{11 \dots 1}_{99\text{個}} \times 10^{2m} $$

となる。$m \ge 99$ であるから、$10^{3m}$ の最上位の桁と、$\underbrace{11 \dots 1}_{99\text{個}} \times 10^{2m}$ の最も上の桁は重ならない。したがって、$L$ を $10$ 進法で表すと、最上位から $1$ があり、その次に $0$ が $m-99$ 個、その次に $1$ が $99$ 個、そして最後に $0$ が $2m$ 個続く数となる。

不等式より $L < A < L + 10^{2m}$ であるから、自然数 $A$ はある自然数 $M \ (0 < M < 10^{2m})$ を用いて

$$ A = L + M $$

と表せる。 $L$ の下位 $2m$ 桁はすべて $0$ であり、$M < 10^{2m}$ であるから、$L$ に $M$ を足しても下位 $2m$ 桁が $M$ に置き換わるだけであり、第 $2m+1$ 桁目以上に繰り上がりは発生しない。よって、$A$ の $10$ 進法における第 $2m+1$ 桁目から第 $2m+99$ 桁目までの $99$ 桁の数字の並びは、$L$ のそれと完全に一致してすべて $1$ となる。したがって、$A$ は条件(b)も満たす。以上より、条件(a), (b) をともに満たす自然数 $A$ が存在することが示された。

解説

(1)の不等式がどのような意味を持つのか、その意図を見抜けるかが本問の核心である。中辺を展開することで現れる $x^3 + 3yx^2$ という項が左辺と一致することから、自然数 $A$ の値が $x^3 + 3yx^2$ とそれに $x^2$ を足した値の間に挟み込まれる構造になっていることがわかる。この不等式評価を利用して、桁の繰り上がりが発生しないように $x$ を $10^m$ などの大きな10の累乗に設定し、$3y$ の部分に目標となる数字の並び（本問では99個の1）を埋め込むという手法は、記数法や桁に関する整数問題において非常に有効な定石である。