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東京大学 2020年理系第2問解説

方針・初手

点 $A$ を基準として $\vec{AB}, \vec{AC}$ を用いて任意の点 $X$ の位置ベクトルを立式し、与えられた面積の条件を係数の不等式に帰着させる。

具体的には、点 $X$ を実数 $s, t$ を用いて $\vec{AX} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ と表し、$\triangle ABX, \triangle BCX, \triangle CAX$ のそれぞれの面積を $s, t$ で表す。これにより、問題は $(s, t)$ 平面上の絶対値を含む不等式が表す領域の面積を求める問題へと変換される。

解法1

平面上に点 $A$ を原点とする座標系をとり、$\vec{b} = \vec{AB} = (b_1, b_2), \vec{c} = \vec{AC} = (c_1, c_2)$ とおく。 $\triangle ABC = 1$ より、面積の公式から

$$ \frac{1}{2} |b_1 c_2 - b_2 c_1| = 1 \iff |b_1 c_2 - b_2 c_1| = 2 $$

が成り立つ。

平面上の任意の点 $X$ は、実数 $s, t$ を用いて $\vec{AX} = s\vec{b} + t\vec{c}$ と表すことができる。このとき、点 $X$ の座標は $(sb_1 + tc_1, sb_2 + tc_2)$ となる。

$\triangle ABX$ と $\triangle CAX$ の面積は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \triangle ABX &= \frac{1}{2} |b_1(sb_2+tc_2) - b_2(sb_1+tc_1)| \\ &= \frac{1}{2} |t(b_1c_2-b_2c_1)| = |t| \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \triangle CAX &= \frac{1}{2} |(sb_1+tc_1)c_2 - (sb_2+tc_2)c_1| \\ &= \frac{1}{2} |s(b_1c_2-b_2c_1)| = |s| \end{aligned} $$

次に、$\triangle BCX$ の面積を求める。 $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (c_1 - b_1, c_2 - b_2)$ であり、$\vec{BX} = \vec{AX} - \vec{AB} = (s-1)\vec{b} + t\vec{c} = ((s-1)b_1 + tc_1, (s-1)b_2 + tc_2)$ であるから、

$$ \begin{aligned} \triangle BCX &= \frac{1}{2} | (c_1-b_1) \{ (s-1)b_2 + tc_2 \} - (c_2-b_2) \{ (s-1)b_1 + tc_1 \} | \\ &= \frac{1}{2} | (s-1)(c_1 b_2 - b_1 c_2) + t(c_1 c_2 - c_2 c_1 - b_1 c_2 + b_2 c_1) | \\ &= \frac{1}{2} | -(s-1)(b_1 c_2 - b_2 c_1) - t(b_1 c_2 - b_2 c_1) | \\ &= \frac{1}{2} | -(s + t - 1)(b_1 c_2 - b_2 c_1) | \\ &= \frac{1}{2} |s+t-1| |b_1 c_2 - b_2 c_1| \\ &= |s+t-1| \end{aligned} $$

となる。

したがって、与えられた面積の条件式 $2 \leqq \triangle ABX + \triangle BCX + \triangle CAX \leqq 3$ は、$(s, t)$ についての以下の不等式に書き換えられる。

$$ 2 \leqq |s| + |t| + |s+t-1| \leqq 3 $$

ここで、$f(s,t) = |s| + |t| + |s+t-1|$ とおき、$(s,t)$ 平面上で $f(s,t) \leqq k$ （$k$ は $k \geqq 1$ を満たす定数）となる領域 $H_k$ を考える。絶対値記号を外すため、符号によって平面を分割して $f(s,t)$ を整理する。

(i)

$s \geqq 0, t \geqq 0, s+t \leqq 1$ のとき $f(s,t) = s + t - (s+t-1) = 1 \leqq k$ （常に満たす）

(ii)

$s \geqq 0, t \geqq 0, s+t \geqq 1$ のとき $f(s,t) = s + t + s + t - 1 = 2(s+t) - 1$ より、$s+t \leqq \frac{k+1}{2}$

(iii)

$s \leqq 0, t \geqq 0, s+t \leqq 1$ のとき $f(s,t) = -s + t - (s+t-1) = -2s + 1$ より、$s \geqq -\frac{k-1}{2}$

(iv)

$s \leqq 0, t \geqq 0, s+t \geqq 1$ のとき $f(s,t) = -s + t + s + t - 1 = 2t - 1$ より、$t \leqq \frac{k+1}{2}$

(v)

$s \leqq 0, t \leqq 0$ のとき $f(s,t) = -s - t - (s+t-1) = -2(s+t) + 1$ より、$s+t \geqq -\frac{k-1}{2}$

(vi)

$s \geqq 0, t \leqq 0, s+t \leqq 1$ のとき $f(s,t) = s - t - (s+t-1) = -2t + 1$ より、$t \geqq -\frac{k-1}{2}$

(vii)

$s \geqq 0, t \leqq 0, s+t \geqq 1$ のとき $f(s,t) = s - t + s + t - 1 = 2s - 1$ より、$s \leqq \frac{k+1}{2}$

以上を総合すると、領域 $H_k$ は以下の3つの不等式を同時に満たす領域に一致することがわかる。

$$ \begin{cases} -\frac{k-1}{2} \leqq s \leqq \frac{k+1}{2} \\ -\frac{k-1}{2} \leqq t \leqq \frac{k+1}{2} \\ -\frac{k-1}{2} \leqq s+t \leqq \frac{k+1}{2} \end{cases} $$

この領域は、$(s,t)$ 平面において1辺の長さが $k$ の正方形領域

$$ -\frac{k-1}{2} \leqq s \leqq \frac{k+1}{2}, \quad -\frac{k-1}{2} \leqq t \leqq \frac{k+1}{2} $$

から、左下隅の $s+t < -\frac{k-1}{2}$ となる直角二等辺三角形（直角を挟む辺の長さは $\frac{k-1}{2}$）と、右上隅の $s+t > \frac{k+1}{2}$ となる直角二等辺三角形（直角を挟む辺の長さは $\frac{k+1}{2}$）を取り除いた六角形である。

したがって、領域 $H_k$ の面積 $S(k)$ は次のように求められる。

$$ \begin{aligned} S(k) &= k^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{k+1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{k-1}{2}\right)^2 \\ &= k^2 - \frac{k^2+2k+1 + k^2-2k+1}{8} \\ &= k^2 - \frac{k^2+1}{4} \\ &= \frac{3k^2-1}{4} \end{aligned} $$

条件を満たす点 $X(s,t)$ が動く範囲は、$(s,t)$ 平面において $H_3$ から $H_2$ の内部を除いた領域である。その面積 $S'$ は、

$$ S' = S(3) - S(2) = \frac{3 \cdot 3^2 - 1}{4} - \frac{3 \cdot 2^2 - 1}{4} = \frac{26}{4} - \frac{11}{4} = \frac{15}{4} $$

となる。

最後に、$(s,t)$ 平面から実際の座標平面への変換を考える。 $(s,t)$ 平面上で $(0,0), (1,0), (0,1)$ を頂点とする三角形の面積は $\frac{1}{2}$ である。これに対応する実際の座標平面上の三角形は $\triangle ABC$ であり、その面積は $1$ である。したがって、位置ベクトル $\vec{x} = s\vec{b} + t\vec{c}$ による変換で面積は $1 \div \frac{1}{2} = 2$ 倍に拡大される。（このことは、変換の行列式の絶対値 $|b_1 c_2 - b_2 c_1| = 2$ であることからも明らかである。）

よって、実際の平面上における点 $X$ の動きうる範囲の面積は、

$$ 2 \times \frac{15}{4} = \frac{15}{2} $$

である。

解説

「斜交座標（位置ベクトルによる係数比較）」を用いて面積比を数式化する典型問題である。

一般の三角形に対する面積の条件が与えられた場合、今回のように $\vec{AB}, \vec{AC}$ を基底として文字でおき、平行四辺形やヤコビアン（行列式）の考え方を利用して、成分計算に持ち込むのが最も確実な手法である。計算量が多いのは $f(s,t) \leqq k$ が表す領域の図示と面積計算である。7つの領域に分けて順に調べてもよいが、$f(s,t) \leqq k$ が対称性をもつ連立不等式に整理できることに注目すると、面積の計算をまとめやすい。