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東京大学 2022年理系第6問解説

方針・初手

表が出たときに足されるベクトルは、それまでに出た裏の回数で決まる。裏が出るたびに状態が一つ進むとみなし、各状態で表が何回出たかをまとめて $X_N = O$ となる条件を調べる。

解法1

(1), (2) に共通する考察

1回目から $N$ 回目までの試行において、裏が出た総回数を $k$ 回、表が出た総回数を $r$ 回とする（$r+k=N$）。 $k$ 回の裏は、コイン投げの履歴を $k+1$ 個の区間に分ける。 $i$ 回目の裏と $i+1$ 回目の裏の間（$i=0, 1, \dots, k$。ただし $i=0$ は1回目の裏の前、$i=k$ は $k$ 回目の裏の後を表す）に出た表の回数を $x_i$ とする。このとき、$x_i \geqq 0$ であり、以下の式が成り立つ。

$$ x_0 + x_1 + \cdots + x_k = r $$

$x_i$ 回の表が出た時点で、それまでに出た裏の回数は $i$ 回であるから、このときに足されるベクトルは $\vec{v}_i$ である。したがって、$X_N$ は次のように表せる。

$$ \overrightarrow{OX_N} = \sum_{i=0}^k x_i \vec{v}_i $$

$\vec{v}_i = \left( \cos \frac{2i\pi}{3}, \sin \frac{2i\pi}{3} \right)$ であるから、$\vec{v}_{i+3} = \vec{v}_i$ が成り立つ。ここで、足されるベクトルごとに変数をまとめ、次のように $A, B, C$ を定める。

$$ \begin{aligned} A &= \sum_{0 \leqq 3j \leqq k} x_{3j} \\ B &= \sum_{0 \leqq 3j+1 \leqq k} x_{3j+1} \\ C &= \sum_{0 \leqq 3j+2 \leqq k} x_{3j+2} \end{aligned} $$

$A, B, C$ はそれぞれベクトル $\vec{v}_0, \vec{v}_1, \vec{v}_2$ が足された回数であり、$A+B+C = r$ を満たす。また、$X_N$ の位置は次のように表せる。

$$ \overrightarrow{OX_N} = A\vec{v}_0 + B\vec{v}_1 + C\vec{v}_2 $$

$\vec{v}_0 + \vec{v}_1 + \vec{v}_2 = \vec{0}$ より $\vec{v}_2 = -\vec{v}_0 - \vec{v}_1$ を代入すると、次のように変形できる。

$$ \overrightarrow{OX_N} = (A-C)\vec{v}_0 + (B-C)\vec{v}_1 $$

$\vec{v}_0, \vec{v}_1$ は互いに平行でなく零ベクトルでもない（1次独立である）から、$X_N = O$ となる条件は以下のようになる。

$$ A-C=0 \text{ かつ } B-C=0 \iff A=B=C $$

このとき $r = A+B+C = 3A$ となるため、$X_N = O$ となるには表の回数 $r$ が 3 の倍数でなければならない。

(1) の解答

$N=8$ のとき。$0 \leqq r \leqq 8$ であり、$r$ は 3 の倍数であるから、$r=0, 3, 6$ のいずれかである。 $A=B=C=m$ とおくと、$r=3m$ より $m=0, 1, 2$ となる。各場合について、条件を満たす出方を数え上げる。

(i)

$r=0$ ($m=0$) のとき表が 0 回、裏が 8 回出る。この出方は 1 通りのみであり、このとき常に $X_8 = O$ を満たす。

(ii)

$r=3$ ($m=1$) のとき裏は $k=5$ 回である。区間は $x_0, x_1, \dots, x_5$ の 6 個存在する。 $A = x_0 + x_3 = 1$ を満たす非負整数の組 $(x_0, x_3)$ は $(1,0), (0,1)$ の 2 通りである。 $B = x_1 + x_4 = 1$ を満たす組 $(x_1, x_4)$ は 2 通りである。 $C = x_2 + x_5 = 1$ を満たす組 $(x_2, x_5)$ は 2 通りである。よって、条件を満たす出方は $2 \times 2 \times 2 = 8$ 通りである。

(iii)

$r=6$ ($m=2$) のとき裏は $k=2$ 回である。区間は $x_0, x_1, x_2$ の 3 個存在する。 $A = x_0 = 2$, $B = x_1 = 2$, $C = x_2 = 2$ と一意に定まる。よって、条件を満たす出方は 1 通りである。

以上より、$X_8 = O$ となる出方の総数は $1 + 8 + 1 = 10$ 通りである。コインを 8 回投げるときの出方は全部で $2^8 = 256$ 通りであり、これらは同様に確からしいので、求める確率は以下のようになる。

$$ \frac{10}{256} = \frac{5}{128} $$

(2) の解答

$N=200$ のとき。$X_{200} = O$ となるためには、表の回数 $r$ が 3 の倍数であることが必要である。よって、$r$ が 3 の倍数でないとき、$p_r = 0$ である。

$r$ が 3 の倍数であるとき、$r=3m$ ($m$ は $0 \leqq 3m \leqq 200$ すなわち $0 \leqq m \leqq 66$ を満たす整数) とおく。このとき $X_{200} = O$ となる条件は $A=B=C=m$ である。裏の回数は $k = 200 - 3m$ 回であり、区間 $x_i$ は $i=0, 1, \dots, 200-3m$ の $201-3m$ 個存在する。 $201-3m = 3(67-m)$ であるから、区間の総数は 3 の倍数である。したがって、$x_i$ の添字 $i$ を 3 で割った余りで分類した以下の3つのグループには、それぞれ等しく $67-m$ 個の変数が属する。

$i \equiv 0 \pmod 3$ のグループ (変数の和が $A$)
$i \equiv 1 \pmod 3$ のグループ (変数の和が $B$)
$i \equiv 2 \pmod 3$ のグループ (変数の和が $C$)

グループ A について、和が $m$ となる $67-m$ 個の非負整数の組の総数は、$m$ 個の「〇」と $(67-m)-1 = 66-m$ 本の「仕切り」を一列に並べる順列の数に等しく、次のように計算できる。

$$ {}_{m+(66-m)}\text{C}_{m} = {}_{66}\text{C}_m \text{ 通り} $$

グループ B, C についても同様にそれぞれ ${}_{66}\text{C}_m$ 通りである。各グループにおける変数の値の決まり方は互いに独立であるから、$A=B=C=m$ となる表と裏の配置の総数は以下のようになる。

$$ \left( {}_{66}\text{C}_m \right)^3 \text{ 通り} $$

コインを 200 回投げたとき、特定の1つの出方（表が $3m$ 回、裏が $200-3m$ 回となる並び）が生じる確率は $\left(\frac{1}{2}\right)^{200}$ であるから、$r=3m$ のときの $p_r$ は以下のようになる。

$$ p_{3m} = \left( {}_{66}\text{C}_m \right)^3 \left( \frac{1}{2} \right)^{200} $$

次に、$p_r$ が最大となる $r$ を求める。 $p_r$ が最大となるのは、$p_{3m}$ が最大となるとき、すなわち二項係数 ${}_{66}\text{C}_m$ が最大となるときである。二項係数の性質 ${}_n\text{C}_k$ ($0 \leqq k \leqq n$) より、$k$ が $\frac{n}{2}$ に最も近いときに最大となる。 $n=66$ (偶数) であるから、${}_{66}\text{C}_m$ は $m = \frac{66}{2} = 33$ のときに最大となる。このとき $r = 3m = 3 \times 33 = 99$ である。したがって、$p_r$ が最大となる $r$ の値は $r=99$ である。