トップ› 京都大学› 2024年› 理系第1問

京都大学 2024年理系第1問解説

方針・初手

立方体の各面において、辺を共有しない（隣接しない）関係にあるのは、互いに向かい合う面（対面）のみであることに着目します。「辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる」という条件は、「同じ色が塗られる面があるならば、それらは必ず対面の関係になければならない」と言い換えることができます。この性質を利用し、向かい合う面の組ごとに同色になるか異色になるかで場合分けして数え上げる方法（解法1）と、基準となる面から順に色を塗っていく方法（解法2）の2つのアプローチで解答を作成します。

解法1

立方体の6つの面は、向かい合う2面の組（対面の組）3つに分けられる。これを組A、組B、組Cとする。各面は、自分自身の対面以外の4つの面と辺を共有して隣接している。したがって、条件「辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる」を満たすとき、同じ色が塗られる可能性があるのは対面同士のみである。対面の組A, B, C それぞれについて、2面を同じ色にするか異なる色にするかで場合分けして、条件を満たす塗り方の総数 $N(n)$ を求める。

(i) 3組すべてが同色の場合

Aの2面、Bの2面、Cの2面のそれぞれが同色となる。隣接する組同士は異なる色でなければならないため、3つの異なる色が必要である。 $n$ 色の中から3色を選び、A, B, C に割り当てる塗り方は、

$$ {}_n \mathrm{P}_3 = n(n-1)(n-2) \text{ 通り} $$

(ii) 2組が同色で、1組が異色の場合

同色となる2組の選び方は ${}_3 \mathrm{C}_{2} = 3$ 通り。同色となる2組にそれぞれ1色ずつ、異色となる1組の2面にそれぞれ別の色を塗るため、計4色が必要となる。 $n$ 色の中から4色を選び割り当てる塗り方は ${}_n \mathrm{P}_4$ 通り。よって、この場合の塗り方は、

$$ 3 \times {}_n \mathrm{P}_4 = 3n(n-1)(n-2)(n-3) \text{ 通り} $$

(iii) 1組が同色で、2組が異色の場合

同色となる1組の選び方は ${}_3 \mathrm{C}_{1} = 3$ 通り。同色となる1組に1色、異色となる2組の計4面にそれぞれ別の色を塗るため、計5色が必要となる。 $n$ 色の中から5色を選び割り当てる塗り方は ${}_n \mathrm{P}_5$ 通り。よって、この場合の塗り方は、

$$ 3 \times {}_n \mathrm{P}_5 = 3n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) \text{ 通り} $$

(iv) 3組すべてが異色の場合

6面すべてが異なる色となるため、計6色が必要となる。 $n$ 色の中から6色を選び割り当てる塗り方は、

$$ {}_n \mathrm{P}_6 = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5) \text{ 通り} $$

以上から、条件を満たす塗り方の総数 $N(n)$ は、これらを足し合わせて

$$ N(n) = {}_n \mathrm{P}_3 + 3 \cdot {}_n \mathrm{P}_4 + 3 \cdot {}_n \mathrm{P}_5 + {}_n \mathrm{P}_6 $$

また、条件を考慮せずに6面に色を塗る総数は $n^6$ 通りであり、これらは同様に確からしい。したがって、求める確率 $p_n$ は $p_n = \frac{N(n)}{n^6}$ である。

(1) $p_4$ を求める

$n=4$ のとき、5色以上は選べないため ${}_4 \mathrm{P}_5 = 0$, ${}_4 \mathrm{P}_6 = 0$ である。

$$ N(4) = {}_4 \mathrm{P}_3 + 3 \cdot {}_4 \mathrm{P}_4 = 4 \cdot 3 \cdot 2 + 3 \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = 24 + 72 = 96 $$

よって、

$$ p_4 = \frac{96}{4^6} = \frac{96}{4096} = \frac{3}{128} $$

(2) $\lim_{n \to \infty} p_n$ を求める

$$ p_n = \frac{{}_n \mathrm{P}_3 + 3 \cdot {}_n \mathrm{P}_4 + 3 \cdot {}_n \mathrm{P}_5 + {}_n \mathrm{P}_6}{n^6} $$

各項について分母を $n^6$ で割って極限をとると、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{{}_n \mathrm{P}_k}{n^6} = 0 \quad (k = 3, 4, 5) $$

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{{}_n \mathrm{P}_6}{n^6} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{n^6} = 1 $$

したがって、

$$ \lim_{n \to \infty} p_n = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 $$

解法2

面を1つずつ順に塗っていく方法で $N(n)$ を求める。立方体の面を、上面、下面、および4つの側面（前、右、後、左の順）とする。上面の色と下面の色が一致するかどうかで場合分けする。まず、上面の色の選び方は $n$ 通りである。

(i) 下面が上面と同じ色の場合

下面の色の選び方は $1$ 通り。側面の4面は、上面・下面と異なる色で、かつ隣り合う面が互いに異なる色になるように塗る。つまり、使える色は残りの $n-1$ 色である。向かい合う2つの側面（前と後）が同じ色か異なる色かで場合分けして側面の塗り方を考える。

前と後が同じ色の場合：色の選び方は $n-1$ 通り。右と左はそれと異なる色であればよいので、それぞれ $(n-1)-1 = n-2$ 通り。よって $(n-1)(n-2)^2$ 通り。
前と後が異なる色の場合：色の選び方は $(n-1)(n-2)$ 通り。右と左は前後の両方と異なる色であればよいので、それぞれ $(n-1)-2 = n-3$ 通り。よって $(n-1)(n-2)(n-3)^2$ 通り。

この場合の塗り方は、

$$ n \cdot 1 \cdot \{ (n-1)(n-2)^2 + (n-1)(n-2)(n-3)^2 \} $$

$$ = n(n-1)(n-2) \{ (n-2) + (n-3)^2 \} = n(n-1)(n-2)(n^2 - 5n + 7) \text{ 通り} $$

(ii) 下面が上面と異なる色の場合

下面の色の選び方は $n-1$ 通り。側面の4面は、上面とも下面とも異なる色で塗るため、使える色は $n-2$ 色である。 (i)と同様に、向かい合う側面（前と後）が同じ色か異なる色かで場合分けする。

前と後が同じ色の場合：色の選び方は $n-2$ 通り。右と左はそれぞれ $(n-2)-1 = n-3$ 通り。よって $(n-2)(n-3)^2$ 通り。
前と後が異なる色の場合：色の選び方は $(n-2)(n-3)$ 通り。右と左はそれぞれ $(n-2)-2 = n-4$ 通り。よって $(n-2)(n-3)(n-4)^2$ 通り。

この場合の塗り方は、

$$ n \cdot (n-1) \cdot \{ (n-2)(n-3)^2 + (n-2)(n-3)(n-4)^2 \} $$

$$ = n(n-1)(n-2)(n-3) \{ (n-3) + (n-4)^2 \} = n(n-1)(n-2)(n-3)(n^2 - 7n + 13) \text{ 通り} $$

(i), (ii)より、条件を満たす塗り方の総数 $N(n)$ は、

$$ N(n) = n(n-1)(n-2) \{ (n^2 - 5n + 7) + (n-3)(n^2 - 7n + 13) \} $$

これを展開して整理すると、

$$ N(n) = n(n-1)(n-2)(n^3 - 9n^2 + 29n - 32) $$

(1) $p_4$ を求める

$n=4$ を代入して、

$$ N(4) = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot (4^3 - 9 \cdot 16 + 29 \cdot 4 - 32) = 24 \cdot (64 - 144 + 116 - 32) = 24 \cdot 4 = 96 $$

よって、

$$ p_4 = \frac{96}{4^6} = \frac{3}{128} $$

(2) $\lim_{n \to \infty} p_n$ を求める

$$ p_n = \frac{n(n-1)(n-2)(n^3 - 9n^2 + 29n - 32)}{n^6} $$

分子を展開したときの最高次の項は $n^6$ であるため、

$$ \lim_{n \to \infty} p_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^6 - 12n^5 + \cdots}{n^6} = 1 $$

解説

解法1は、立方体の対称性と「どの面とどの面が隣接するか」という性質を最初に分析することで、非常に見通しよく数え上げることができる優れたアプローチです。解法2は、色塗り問題における基本である「影響を及ぼし合う（隣接する）順に色を決める」という方針に基づいています。側面を塗る段階で「4つの領域を円形に並べたときの色塗り」に帰着させるのがポイントです。 (2)の極限は、「色が無数にあれば、ランダムに塗って偶然隣の面と同じ色になってしまう確率は限りなく $0$ に近づく」という直感からも、$1$ になることが容易に予想できます。