京都大学 2023年 理系 第3問 解説

方針・初手

(1) 積 $Y$ が素数 $5$ の倍数になる条件は、「$n$ 回のうち少なくとも1回は $5$ の目が出る」ことである。「少なくとも1回」という条件なので、余事象を考えるのが定石である。 (2)

$15$ は互いに素な $3$ と $5$ の積であるから、積 $Y$ が $15$ の倍数になる条件は、「$Y$ が $3$ の倍数かつ $5$ の倍数になる」ことである。(1)と同様に余事象を考えるが、複数の条件の「かつ」に対する余事象となるため、ド・モルガンの法則と集合の考え方（ベン図）を利用して確率を計算する。

解法1

(1)

求める確率は、全事象の確率から「$n$ 回とも $5$ 以外の目が出る」事象の確率を引いたものである。 さいころを1回投げて $5$ 以外の目（$1, 2, 3, 4, 6$）が出る確率は $\frac{5}{6}$ である。 したがって、$n$ 回とも $5$ 以外の目が出る確率は $\left(\frac{5}{6}\right)^n$ となる。 よって、求める確率は

$$ 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n $$

(2)

事象 $A$ を「積 $Y$ が $3$ の倍数となる」事象、事象 $B$ を「積 $Y$ が $5$ の倍数となる」事象とする。 求める確率は $P(A \cap B)$ である。 余事象の性質とド・モルガンの法則より、

$$ P(A \cap B) = 1 - P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(\overline{A} \cup \overline{B}) $$

が成り立つ。ここで、$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$ である。

各事象について確率を求める。 さいころの目は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の $6$ 通りである。

$\overline{A}$ は「$n$ 回とも $3$ の倍数（$3, 6$）以外の目が出る」事象であり、該当する目は $1, 2, 4, 5$ の $4$ 通り。

$$ P(\overline{A}) = \left(\frac{4}{6}\right)^n = \left(\frac{2}{3}\right)^n $$

$\overline{B}$ は「$n$ 回とも $5$ の倍数（$5$）以外の目が出る」事象であり、該当する目は $1, 2, 3, 4, 6$ の $5$ 通り。

$$ P(\overline{B}) = \left(\frac{5}{6}\right)^n $$

$\overline{A} \cap \overline{B}$ は「$n$ 回とも $3$ の倍数でも $5$ の倍数でもない目が出る」事象であり、該当する目は $1, 2, 4$ の $3$ 通り。

$$ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \left(\frac{3}{6}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n $$

これらを代入して和集合の確率を計算すると、

$$ P(\overline{A} \cup \overline{B}) = \left(\frac{2}{3}\right)^n + \left(\frac{5}{6}\right)^n - \left(\frac{1}{2}\right)^n $$

よって、求める確率 $P(A \cap B)$ は、

$$ 1 - \left\{ \left(\frac{2}{3}\right)^n + \left(\frac{5}{6}\right)^n - \left(\frac{1}{2}\right)^n \right\} $$

$$ = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n - \left(\frac{5}{6}\right)^n + \left(\frac{1}{2}\right)^n $$

解説

• さいころを複数回投げて「積が〇〇の倍数」となる確率を問う問題は、大学入試における確率分野の超頻出テーマです。「少なくとも〜」の言い換えが直接的に見えなくても、特定の素因数を含むかどうかを考える際には、含まない場合（余事象）をベースにするのが基本方針となります。

• (2)において、$15$ の倍数を「$3$ の倍数かつ $5$ の倍数」と分解し、集合（事象）の記号を用いて整理するアプローチが重要です。頭の中だけで数え上げようとすると重複や抜けが発生しやすいため、$\overline{A}$、$ \overline{B}$、$ \overline{A} \cap \overline{B}$ といった各事象が「具体的にどの目が出たときか」を書き出して丁寧に処理しましょう。

答え

(1)

$1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n$

(2)

$1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n - \left(\frac{5}{6}\right)^n + \left(\frac{1}{2}\right)^n$