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東京大学 2023年理系第3問解説

方針・初手

（1）は、円周上の点と放物線の位置関係を数式で処理する。放物線上の点と円の中心との距離の最小値を考える方針や、2曲線の方程式から文字を消去して実数解の有無に帰着させる方針が有効である。

（2）は、円弧上の点 $P$ を角度パラメータを用いて設定し、接線の方程式を立てる。接線が放物線から切り取る線分の長さをパラメータの関数として表し、その関数が同一の値を2回以上とる条件を微分法によって調べる。

解法1

(1)

円 $C$ が不等式 $y > x^2$ の表す領域に含まれるための条件は、円 $C$ の中心 $(0, a)$ が領域 $y > x^2$ に含まれ、かつ放物線 $y = x^2$ 上の任意の点と中心 $(0, a)$ の距離が常に半径 $1$ より大きいことである。

中心 $(0, a)$ が $y > x^2$ に含まれるので $a > 0$ である。

放物線上の点を $(t, t^2)$ とおく。この点と $(0, a)$ の距離の2乗を $f(t)$ とすると、

$$ f(t) = t^2 + (t^2 - a)^2 = t^4 - (2a-1)t^2 + a^2 $$

となる。これがすべての実数 $t$ に対して $f(t) > 1$ を満たせばよい。

$X = t^2$ とおくと、$X \geqq 0$ であり、

$$ g(X) = X^2 - (2a-1)X + a^2 $$

が $X \geqq 0$ において常に $g(X) > 1$ を満たす条件を求める。

$$ g(X) - 1 = X^2 - (2a-1)X + a^2 - 1 $$

であり、この $X$ の2次関数のグラフの軸は $X = \frac{2a-1}{2}$ である。

(i)

$\frac{2a-1}{2} \leqq 0$ すなわち $0 < a \leqq \frac{1}{2}$ のとき

$X \geqq 0$ における $g(X) - 1$ の最小値は $X = 0$ のときであり、

$$ g(0) - 1 = a^2 - 1 $$

これが正であればよいので、$a^2 - 1 > 0$ より $a < -1, 1 < a$ となるが、$0 < a \leqq \frac{1}{2}$ を満たす $a$ は存在しない。

(ii)

$\frac{2a-1}{2} > 0$ すなわち $a > \frac{1}{2}$ のとき

$X \geqq 0$ における $g(X) - 1$ の最小値は $X = \frac{2a-1}{2}$ のときであるから、

$$ g\left(\frac{2a-1}{2}\right) - 1 = -\frac{(2a-1)^2}{4} + a^2 - 1 = \frac{4a-5}{4} $$

これが正であればよいので、

$$ \frac{4a-5}{4} > 0 \iff a > \frac{5}{4} $$

これは $a > \frac{1}{2}$ を満たす。

以上より、求める $a$ の範囲は $a > \frac{5}{4}$ である。

(2)

(1)より $a > \frac{5}{4}$ である。

円弧 $S$ は $x^2 + (y-a)^2 = 1$ のうち $x \geqq 0$ かつ $y < a$ を満たす部分であるから、$S$ 上の点 $P$ はパラメータ $\theta$ を用いて

$$ P(\sin\theta, a - \cos\theta) \quad \left(0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}\right) $$

とおける。点 $P$ における円 $C$ の接線は、ベクトル $(\sin\theta, -\cos\theta)$ に垂直であるから、その方程式は

$$ (\sin\theta) x + (-\cos\theta)(y - a) = 1 $$

$0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\cos\theta > 0$ であるため、変形して

$$ y = (\tan\theta) x + a - \frac{1}{\cos\theta} $$

ここで $t = \tan\theta$ とおくと、$0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$ より $t \geqq 0$ であり、$t$ と $\theta$ は1対1に対応する。

$\frac{1}{\cos\theta} = \sqrt{1+\tan^2\theta} = \sqrt{1+t^2}$ であるから、接線の方程式は

$$ y = tx + a - \sqrt{1+t^2} $$

この接線と放物線 $y = x^2$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$$ x^2 - tx - a + \sqrt{1+t^2} = 0 $$

の実数解である。この2解を $\alpha, \beta$ とすると、接線が放物線によって切り取られる線分の長さの2乗 $L_P^2$ は

$$ L_P^2 = (\beta - \alpha)^2 + (t\beta - t\alpha)^2 = (1+t^2)(\beta - \alpha)^2 $$

解と係数の関係 $\alpha + \beta = t, \alpha\beta = -a + \sqrt{1+t^2}$ を用いると、

$$ (\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = t^2 + 4a - 4\sqrt{1+t^2} $$

よって、

$$ L_P^2 = (1+t^2)\left(t^2 + 4a - 4\sqrt{1+t^2}\right) $$

ここで $u = \sqrt{1+t^2}$ とおくと、$t \geqq 0$ より $u \geqq 1$ であり、$u$ と $t$ も1対1に対応する。$t^2 = u^2 - 1$ より、

$$ L_P^2 = u^2(u^2 - 1 + 4a - 4u) = u^4 - 4u^3 + (4a-1)u^2 $$

これを $u$ の関数として $G(u)$ とおく。$u \geqq 1$ における $u$ の値が1つ決まれば接点 $P$ が1つ決まるため、$L_Q = L_R$ となる異なる2点 $Q, R$ が存在することは、$G(u) = k$ が $u \geqq 1$ で異なる2つ以上の実数解を持つような定数 $k$ が存在することと同値である。

すなわち、$G(u)$ が $u \geqq 1$ において単調でなく、極値を持てばよい。

$$ G'(u) = 4u^3 - 12u^2 + 2(4a-1)u = 2u(2u^2 - 6u + 4a - 1) $$

$u \geqq 1$ より $2u > 0$ であるから、$G'(u)$ の符号は $h(u) = 2u^2 - 6u + 4a - 1$ の符号と一致する。

$h(u) = 0$ が $u > 1$ の範囲で解を持つ条件を考える。

$$ h(u) = 2\left(u - \frac{3}{2}\right)^2 + 4a - \frac{11}{2} $$

放物線 $y = h(u)$ の軸は $u = \frac{3}{2} > 1$ であるから、$h(u) = 0$ が $u > 1$ に解を持つための条件は、頂点の $y$ 座標が負となることである。

$$ 4a - \frac{11}{2} < 0 \iff a < \frac{11}{8} $$

このとき、区間 $u \geqq 1$ の端点における値は $h(1) = 4a - 5$ であり、(1)より $a > \frac{5}{4}$ であるから $h(1) > 0$ となる。

したがって、$h(u) = 0$ は $1 < u < \frac{3}{2}$ と $u > \frac{3}{2}$ の範囲にそれぞれ1つずつ解を持ち、$G(u)$ は極大値と極小値を持つ。

これにより、同じ値をとる異なる $u$ が存在するため、題意は満たされる。

以上より、求める $a$ の範囲は $\frac{5}{4} < a < \frac{11}{8}$ である。