トップ› 北海道大学› 2024年› 理系第2問

北海道大学 2024年理系第2問解説

譁ｹ驥昴・蛻晄焔

蜷・擇縺悟・繧狗｢ｺ邇・ｒ謨ｴ逅・＠縲∵戟縺｡轤ｹ縺ｨ縺・≧遒ｺ邇・､画焚縺ｮ蜿悶ｊ縺・ｋ蛟､繧貞ｴ蜷亥・縺代＠縺ｦ雜ｳ縺怜粋繧上○繧九・1) 縺ｯ謖√■轤ｹ縺・$2$ 莉･荳九→縺ｪ繧倶ｺ玖ｱ｡繧剃ｺ偵＞縺ｫ謗貞渚縺ｪ莠玖ｱ｡縺ｫ蛻・￠縺ｦ遒ｺ邇・ｒ豎ゅａ繧九・2) 縺ｯ譚｡莉ｶ莉倥″遒ｺ邇・・螳夂ｾｩ縺ｫ蠕薙＞縲・P(A)$ 縺ｨ $P(A \cap B)$ 繧偵◎繧後◇繧梧ｱゅａ繧九・

隗｣豕・

豁｣蜈ｫ髱｢菴薙・縺輔＞縺薙ｍ繧・蝗樊兜縺偵◆縺ｨ縺阪∝推謨ｰ縺悟・繧狗｢ｺ邇・・谺｡縺ｮ繧医≧縺ｫ縺ｪ繧九・

$0$ 縺悟・繧狗｢ｺ邇・ｼ・\frac{5}{8}$
$1$ 縺悟・繧狗｢ｺ邇・ｼ・\frac{1}{8}$
$2$ 縺悟・繧狗｢ｺ邇・ｼ・\frac{1}{8}$
$3$ 縺悟・繧狗｢ｺ邇・ｼ・\frac{1}{8}$

(1) $n$ 蝗槭・隧ｦ陦後〒謖√■轤ｹ縺・$2$ 莉･荳九→縺ｪ繧九・縺ｯ縲∵戟縺｡轤ｹ縺・$0, 1, 2$ 縺ｮ縺・★繧後°縺ｫ縺ｪ繧句ｴ蜷医〒縺ゅｊ縲√％繧後ｉ縺ｯ莠偵＞縺ｫ謗貞渚縺ｧ縺ゅｋ縲・

**(i) 謖√■轤ｹ縺・$0$ 縺ｮ蝣ｴ蜷・*

$n$ 蝗槭☆縺ｹ縺ｦ $0$ 縺悟・繧句ｴ蜷医〒縺ゅｋ縲ゅ◎縺ｮ遒ｺ邇・・

$$ \left(\frac{5}{8}\right)^n $$

**(ii) 謖√■轤ｹ縺・$1$ 縺ｮ蝣ｴ蜷・*

$1$ 縺・蝗槭・0$ 縺・$n-1$ 蝗槫・繧句ｴ蜷医〒縺ゅｋ縲ゅ◎縺ｮ遒ｺ邇・・

$$ {}_n\mathrm{C}_{1} \left(\frac{1}{8}\right)^1 \left(\frac{5}{8}\right)^{n-1} = \frac{n \cdot 5^{n-1}}{8^n} $$

**(iii) 謖√■轤ｹ縺・$2$ 縺ｮ蝣ｴ蜷・*

$2$ 縺・蝗槭・0$ 縺・$n-1$ 蝗槫・繧句ｴ蜷医→縲・1$ 縺・蝗槭・0$ 縺・$n-2$ 蝗槫・繧句ｴ蜷医′縺ゅｋ縲ゅ％繧後ｉ縺ｮ遒ｺ邇・・

$$ {}_n\mathrm{C}_{1} \left(\frac{1}{8}\right)^1 \left(\frac{5}{8}\right)^{n-1} + {}_n\mathrm{C}_{2} \left(\frac{1}{8}\right)^2 \left(\frac{5}{8}\right)^{n-2} = \frac{n \cdot 5^{n-1}}{8^n} + \frac{n(n-1) \cdot 5^{n-2}}{2 \cdot 8^n} $$

豎ゅａ繧狗｢ｺ邇・・縲√％繧後ｉ3縺､縺ｮ遒ｺ邇・・蜥後〒縺ゅｋ縺九ｉ

$$ \begin{aligned} \left(\frac{5}{8}\right)^n + \frac{n \cdot 5^{n-1}}{8^n} + \left\{ \frac{n \cdot 5^{n-1}}{8^n} + \frac{n(n-1) \cdot 5^{n-2}}{2 \cdot 8^n} \right\} &= \frac{2 \cdot 5^n + 4n \cdot 5^{n-1} + n(n-1) \cdot 5^{n-2}}{2 \cdot 8^n} \\ &= \frac{5^{n-2} \{ 2 \cdot 5^2 + 4n \cdot 5 + n(n-1) \}}{2 \cdot 8^n} \\ &= \frac{5^{n-2} ( 50 + 20n + n^2 - n )}{2 \cdot 8^n} \\ &= \frac{(n^2 + 19n + 50)5^{n-2}}{2^{3n+1}} \end{aligned} $$

(2) 4蝗櫁ｩｦ陦後＠縺ｦ謖√■轤ｹ縺・$10$ 莉･荳翫〒縺ゅｋ莠玖ｱ｡繧・$A$縲√◎縺薙°繧峨＆繧峨↓2蝗櫁ｩｦ陦後＠縺ｦ・亥粋險・蝗槭〒・画戟縺｡轤ｹ縺・$17$ 莉･荳翫〒縺ゅｋ莠玖ｱ｡繧・$B$ 縺ｨ縺吶ｋ縲よｱゅａ繧区擅莉ｶ莉倥″遒ｺ邇・・ $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・

縺ｾ縺壹∽ｺ玖ｱ｡ $A$ 縺ｮ遒ｺ邇・$P(A)$ 繧呈ｱゅａ繧九・ 1蝗槭・隧ｦ陦後〒縺ｮ譛螟ｧ轤ｹ縺ｯ $3$ 縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・蝗槭〒縺ｮ譛螟ｧ轤ｹ縺ｯ $12$ 縺ｧ縺ゅｋ縲ゅ＠縺溘′縺｣縺ｦ縲・蝗槭〒 $10$ 莉･荳翫→縺ｪ繧区戟縺｡轤ｹ縺ｯ $10, 11, 12$ 縺ｮ縺・★繧後°縺ｧ縺ゅｋ縲・ $1, 2, 3$ 縺悟・繧狗｢ｺ邇・・縺吶∋縺ｦ $\frac{1}{8}$ 縺ｧ縺ゅｋ縺溘ａ縲∝・縺溽岼縺ｮ邨・∩蜷医ｏ縺帙・謨ｰ縺九ｉ遒ｺ邇・ｒ險育ｮ励〒縺阪ｋ縲・

謖√■轤ｹ縺・$12$ 縺ｨ縺ｪ繧九・縺ｯ縲∫岼縺ｮ邨・∩蜷医ｏ縺帙′ $\{3, 3, 3, 3\}$ 縺ｮ蝣ｴ蜷医〒縺ゅｊ縲√◎縺ｮ荳ｦ縺ｹ譁ｹ縺ｯ $\frac{4!}{4!} = 1$ 騾壹ｊ縲・
謖√■轤ｹ縺・$11$ 縺ｨ縺ｪ繧九・縺ｯ縲∫岼縺ｮ邨・∩蜷医ｏ縺帙′ $\{3, 3, 3, 2\}$ 縺ｮ蝣ｴ蜷医〒縺ゅｊ縲√◎縺ｮ荳ｦ縺ｹ譁ｹ縺ｯ $\frac{4!}{3!1!} = 4$ 騾壹ｊ縲・
謖√■轤ｹ縺・$10$ 縺ｨ縺ｪ繧九・縺ｯ縲∫岼縺ｮ邨・∩蜷医ｏ縺帙′ $\{3, 3, 3, 1\}$ 縺ｾ縺溘・ $\{3, 3, 2, 2\}$ 縺ｮ蝣ｴ蜷医〒縺ゅｊ縲√◎縺ｮ荳ｦ縺ｹ譁ｹ縺ｯ $\frac{4!}{3!1!} + \frac{4!}{2!2!} = 4 + 6 = 10$ 騾壹ｊ縲・

繧医▲縺ｦ縲∽ｺ玖ｱ｡ $A$ 縺瑚ｵｷ縺薙ｋ遒ｺ邇・・

$$ P(A) = (1 + 4 + 10) \times \left(\frac{1}{8}\right)^4 = \frac{15}{8^4} $$

谺｡縺ｫ縲∽ｺ玖ｱ｡ $A \cap B$ 縺ｮ遒ｺ邇・$P(A \cap B)$ 繧呈ｱゅａ繧九・莠玖ｱ｡ $A$ 縺瑚ｵｷ縺薙▲縺溘→縺阪・4蝗樊凾轤ｹ縺ｧ縺ｮ謖√■轤ｹ縺斐→縺ｫ縲∽ｺ玖ｱ｡ $B$ 縺瑚ｵｷ縺薙ｋ縺溘ａ縺ｮ谿九ｊ2蝗槭・譚｡莉ｶ繧定・∴繧九・

**(繧｢) 4蝗樊凾轤ｹ縺ｧ謖√■轤ｹ縺・$12$ 縺ｮ蝣ｴ蜷・*

谿九ｊ2蝗槭〒 $17 - 12 = 5$ 轤ｹ莉･荳翫′蠢・ｦ√〒縺ゅｋ縲・蝗槭・逶ｮ縺ｮ邨・∩蜷医ｏ縺帙・ $\{3, 3\}, \{3, 2\}$ 縺ｧ縺ゅｊ縲√◎縺ｮ荳ｦ縺ｹ譁ｹ縺ｯ $1 + 2 = 3$ 騾壹ｊ縲・縺薙・蝣ｴ蜷医・莠玖ｱ｡ $A \cap B$ 縺ｮ遒ｺ邇・・

$$ 1 \times \left(\frac{1}{8}\right)^4 \times 3 \times \left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{3}{8^6} $$

**(繧､) 4蝗樊凾轤ｹ縺ｧ謖√■轤ｹ縺・$11$ 縺ｮ蝣ｴ蜷・*

谿九ｊ2蝗槭〒 $17 - 11 = 6$ 轤ｹ莉･荳翫′蠢・ｦ√〒縺ゅｋ縲ゅ％繧後ｒ貅縺溘☆2蝗槭・逶ｮ縺ｮ邨・∩蜷医ｏ縺帙・ $\{3, 3\}$ 縺ｮ縺ｿ縺ｧ縺ゅｊ縲∽ｸｦ縺ｹ譁ｹ縺ｯ $1$ 騾壹ｊ縲・縺薙・蝣ｴ蜷医・莠玖ｱ｡ $A \cap B$ 縺ｮ遒ｺ邇・・

$$ 4 \times \left(\frac{1}{8}\right)^4 \times 1 \times \left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{4}{8^6} $$

**(繧ｦ) 4蝗樊凾轤ｹ縺ｧ謖√■轤ｹ縺・$10$ 縺ｮ蝣ｴ蜷・*

谿九ｊ2蝗槭〒 $17 - 10 = 7$ 轤ｹ莉･荳翫′蠢・ｦ√〒縺ゅｋ縺後・蝗槭・譛螟ｧ轤ｹ縺ｯ $6$ 縺ｧ縺ゅｋ縺溘ａ縲√％繧後ｒ貅縺溘☆縺薙→縺ｯ縺ｧ縺阪↑縺・・縺薙・蝣ｴ蜷医・莠玖ｱ｡ $A \cap B$ 縺ｮ遒ｺ邇・・ $0$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・

縺励◆縺後▲縺ｦ縲∽ｺ玖ｱ｡ $A \cap B$ 縺ｮ遒ｺ邇・・

$$ P(A \cap B) = \frac{3}{8^6} + \frac{4}{8^6} = \frac{7}{8^6} $$

莉･荳翫ｈ繧翫∵ｱゅａ繧区擅莉ｶ莉倥″遒ｺ邇・・

$$ P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{7}{8^6}}{\frac{15}{8^4}} = \frac{7}{8^6} \times \frac{8^4}{15} = \frac{7}{15 \times 8^2} = \frac{7}{960} $$

隗｣隱ｬ

(1) 縺ｯ遒ｺ邇・ｨ育ｮ励・蝓ｺ譛ｬ縺ｧ縺ゅｋ縲御ｺ偵＞縺ｫ謗貞渚縺ｪ莠玖ｱ｡縺ｸ縺ｮ蛻・牡縲阪ｒ遒ｺ螳溘↓陦後≧縺薙→縺後・繧､繝ｳ繝医〒縺ゅｋ縲よ戟縺｡轤ｹ縺斐→縺ｫ蝣ｴ蜷亥・縺代＠縲√◎繧後◇繧後・遒ｺ邇・ｒ豁｣縺励￥豎ゅａ縺ｦ雜ｳ縺怜粋繧上○繧九・ (2) 縺ｯ譚｡莉ｶ莉倥″遒ｺ邇・・螳夂ｾｩ蠑・$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ 縺ｫ蠕薙▲縺ｦ險育ｮ励☆繧句・蝙句撫鬘後〒縺ゅｋ縲ょｾ礼せ縺碁ｫ倥￥縺ｪ繧九こ繝ｼ繧ｹ縺ｯ髯舌ｉ繧後※縺・ｋ縺溘ａ縲∫せ謨ｰ縺ｮ邨・∩蜷医ｏ縺帙ｒ荳縺､縺壹▽謨ｰ縺井ｸ翫￡繧区婿驥昴′譛繧ら｢ｺ螳溘〒縺ゅｋ縲ゅ＆縺・％繧阪・ $1, 2, 3$ 縺ｮ蜃ｺ繧狗｢ｺ邇・′蜷後§ $\frac{1}{8}$ 縺ｧ縺ゅｋ縺薙→繧貞茜逕ｨ縺励※縲∽ｸｦ縺ｹ譁ｹ縺ｮ謨ｰ縺縺代〒遒ｺ邇・ｒ邂怜・縺吶ｋ縺ｨ險育ｮ励′邁｡逡･蛹悶〒縺阪ｋ縲・