東京大学 2024年 理系 第1問 解説

方針・初手

$xy$ 平面上の点 $P$ の座標を $(x, y, 0)$ とおき、ベクトルの内積を用いて角度の条件を座標の不等式に帰着させる。空間ベクトル $\vec{OA}$、$\vec{OP}$、$\vec{AP}$ の成分表示から $\cos \angle AOP$ と $\cos \angle OAP$ を求め、与えられた不等式を同値変形して $xy$ 平面上の領域を特定する。

解法1

点 $A$ の座標は $(0, -1, 1)$ である。 点 $P$ は $xy$ 平面上の点であり、条件 (i) より原点 $O$ とは異なるため、$P(x, y, 0)$ とおく。ただし、$(x, y) \neq (0, 0)$ である。

各ベクトルを成分表示すると、以下のようになる。

$$ \vec{OA} = (0, -1, 1) $$

$$ \vec{OP} = (x, y, 0) $$

$$ \vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA} = (x, y+1, -1) $$

また、$\vec{AO} = -\vec{OA} = (0, 1, -1)$ である。

条件 (ii) $\angle AOP \geqq \frac{2}{3}\pi$ について考える。 $0 \leqq \angle AOP \leqq \pi$ の範囲において、関数 $\cos \theta$ は単調減少であるため、以下の不等式が成り立つ。

$$ \cos \angle AOP \leqq \cos \left( \frac{2}{3}\pi \right) = -\frac{1}{2} $$

ベクトルの内積を用いて $\cos \angle AOP$ を表すと、

$$ \cos \angle AOP = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OP}}{|\vec{OA}||\vec{OP}|} = \frac{-y}{\sqrt{2} \sqrt{x^2+y^2}} $$

したがって、不等式は次のようになる。

$$ \frac{-y}{\sqrt{2} \sqrt{x^2+y^2}} \leqq -\frac{1}{2} $$

$$ \frac{y}{\sqrt{2(x^2+y^2)}} \geqq \frac{1}{2} $$

この不等式が成り立つためには、左辺が正でなければならないため、$y > 0$ であることが必要である。（これにより、点 $P$ が原点ではないという条件 (i) は自動的に満たされる。） $y > 0$ のもとで、両辺は正であるから2乗しても同値であり、

$$ \frac{y^2}{2(x^2+y^2)} \geqq \frac{1}{4} $$

$$ 2y^2 \geqq x^2 + y^2 $$

$$ y^2 \geqq x^2 $$

$y > 0$ であるから、$y \geqq |x|$ を得る。

次に、条件 (iii) $\angle OAP \leqq \frac{\pi}{6}$ について考える。 同様に $0 \leqq \angle OAP \leqq \pi$ において、以下の不等式が成り立つ。

$$ \cos \angle OAP \geqq \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

ベクトルの内積を用いて $\cos \angle OAP$ を表す。

$$ \vec{AO} \cdot \vec{AP} = 0 \cdot x + 1 \cdot (y+1) + (-1) \cdot (-1) = y + 2 $$

$$ |\vec{AO}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $$

$$ |\vec{AP}| = \sqrt{x^2 + (y+1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + 2y + 2} $$

これらを代入して、

$$ \frac{y+2}{\sqrt{2} \sqrt{x^2+y^2+2y+2}} \geqq \frac{\sqrt{3}}{2} $$

先ほど求めた条件より $y > 0$ であるため、左辺の分子 $y+2$ は正である。したがって両辺ともに正であるから、2乗して整理する。

$$ \frac{(y+2)^2}{2(x^2+y^2+2y+2)} \geqq \frac{3}{4} $$

$$ 2(y+2)^2 \geqq 3(x^2+y^2+2y+2) $$

$$ 2(y^2+4y+4) \geqq 3x^2 + 3y^2 + 6y + 6 $$

$$ 3x^2 + y^2 - 2y - 2 \leqq 0 $$

平方完成して標準形に変形する。

$$ 3x^2 + (y-1)^2 - 3 \leqq 0 $$

$$ x^2 + \frac{(y-1)^2}{3} \leqq 1 $$

これは、$xy$ 平面上において、中心 $(0, 1)$、短軸方向の半径 $1$、長軸方向の半径 $\sqrt{3}$ の楕円の周および内部を表す。

求めた2つの領域の境界線の交点を調べる。 楕円 $x^2 + \frac{(y-1)^2}{3} = 1$ と直線 $y = x$ ($x > 0$) の交点を求める。$y=x$ を楕円の方程式（展開形 $3x^2 + y^2 - 2y - 2 = 0$）に代入する。

$$ 3x^2 + x^2 - 2x - 2 = 0 $$

$$ 4x^2 - 2x - 2 = 0 $$

$$ 2x^2 - x - 1 = 0 $$

$$ (2x+1)(x-1) = 0 $$

$x > 0$ より $x = 1$ であり、このとき $y = 1$ となる。したがって、交点は $(1, 1)$ である。 また、楕円と領域 $y \geqq |x|$ は $y$ 軸対称であるため、直線 $y = -x$ ($x < 0$) との交点は $(-1, 1)$ である。

点 $(\pm 1, 1)$ において、楕円の方程式から $x = \pm 1$ を代入すると $\frac{(y-1)^2}{3} = 0$ となり $y=1$ を重解に持つため、これらの点における楕円の接線は $y$ 軸に平行な直線 $x = \pm 1$ であることがわかる。

以上より、$P$ がとりうる範囲は、$y \geqq |x|$ かつ $x^2 + \frac{(y-1)^2}{3} \leqq 1$ を満たす $xy$ 平面上の領域である。

解説

空間図形の角度に関する条件を、ベクトルの内積を用いて代数的な不等式へと翻訳する典型的な問題である。 $\cos \theta \leqq -\frac{1}{2}$ という条件から分母を払う際、左辺の分子 $-y$ が負でなければならないことに気づき、$y > 0$ を導くことが要点である。この確認を怠ると、両辺を2乗して同値変形する際の論理に飛躍が生じる。また、境界となる楕円と直線の交点や位置関係を正確に把握し、図示に反映させる丁寧さが求められる。

答え

点 $P$ がとりうる範囲は、$xy$ 平面上における以下の連立不等式が表す領域である。

$$ \begin{cases} y \geqq |x| \\ x^2 + \frac{(y-1)^2}{3} \leqq 1 \end{cases} $$

図示すると、楕円 $x^2 + \frac{(y-1)^2}{3} = 1$ の周および内部のうち、直線 $y = x$ および $y = -x$ の上側（境界を含む）にある部分となる。ただし、原点 $(0,0)$ は含まない。 境界線の交点は $(1, 1)$ および $(-1, 1)$ であり、境界線は原点を除きすべて含まれる。