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東京大学 2006年理系第4問解説

方針・初手

（1）は $x \leqq y \leqq 3$ から $x, y$ の組の候補をすべて列挙し、それぞれについて $z$ の2次方程式が正の整数解をもつかを調べる。
（2）は与えられた等式を $z$（あるいは $a$ の位置に入る変数）についての2次方程式とみなし、解と係数の関係を用いてもう1つの解を構成する。その解が正の整数であり、かつ大小関係の条件を満たすことを示す。
（3）は（1）の解と（2）の生成規則を用いて、条件を満たす組を帰納的に無限個作れることを示す。

解法1

(1)

条件(A)より、$x, y, z$ は正の整数であり、$x \leqq y \leqq z$ を満たす。 $y \leqq 3$ であるから、$y$ の値は $1, 2, 3$ のいずれかである。

(i)

$y = 1$ のとき

$x \leqq y$ と $x$ が正の整数であることから、$x = 1$ である。これを与式 $x^2+y^2+z^2=xyz$ に代入すると、

$$ 1^2 + 1^2 + z^2 = z $$

$$ z^2 - z + 2 = 0 $$

これを満たす実数 $z$ は存在しないため、不適である。

(ii)

$y = 2$ のとき

$x \leqq y$ より $x = 1, 2$ のいずれかである。 $x = 1$ のとき、与式に代入すると、

$$ 1^2 + 2^2 + z^2 = 2z $$

$$ z^2 - 2z + 5 = 0 $$

これを満たす実数 $z$ は存在しない。 $x = 2$ のとき、与式に代入すると、

$$ 2^2 + 2^2 + z^2 = 4z $$

$$ z^2 - 4z + 8 = 0 $$

これを満たす実数 $z$ は存在しない。よって不適である。

(iii)

$y = 3$ のとき

$x \leqq y$ より $x = 1, 2, 3$ のいずれかである。 $x = 1$ のとき、与式に代入すると、

$$ 1^2 + 3^2 + z^2 = 3z $$

$$ z^2 - 3z + 10 = 0 $$

これを満たす実数 $z$ は存在しない。 $x = 2$ のとき、与式に代入すると、

$$ 2^2 + 3^2 + z^2 = 6z $$

$$ z^2 - 6z + 13 = 0 $$

これを満たす実数 $z$ は存在しない。 $x = 3$ のとき、与式に代入すると、

$$ 3^2 + 3^2 + z^2 = 9z $$

$$ z^2 - 9z + 18 = 0 $$

$$ (z - 3)(z - 6) = 0 $$

これより $z = 3, 6$ となる。これらはともに $z \geqq y = 3$ を満たす正の整数である。

以上より、求める組は $(3, 3, 3)$ および $(3, 3, 6)$ である。

(2)

組 $(a, b, c)$ が条件(A)を満たすとき、$a, b, c$ は正の整数で、以下を満たす。

$$ a^2 + b^2 + c^2 = abc $$

$$ a \leqq b \leqq c $$

このとき、$x^2 + b^2 + c^2 = xbc$ すなわち $x^2 - bcx + b^2 + c^2 = 0$ という $x$ についての2次方程式を考える。仮定より、この方程式は $x = a$ を解にもつ。もう1つの解を $z$ とすると、解と係数の関係より、

$$ a + z = bc $$

$$ az = b^2 + c^2 $$

これらより、$z = bc - a = \frac{b^2 + c^2}{a}$ と表せる。 $a, b, c$ は正の整数であるから、$z = bc - a$ より $z$ も整数であり、$z = \frac{b^2 + c^2}{a} > 0$ より $z$ は正の整数である。次に、この $z$ が $c \leqq z$ を満たすことを示す。条件(A)を満たす正の整数の組 $(a, b, c)$ において、$a$ の値について調べる。もし $a = 1$ であれば、$1 + b^2 + c^2 = bc$ となり、

$$ \left( b - \frac{c}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}c^2 + 1 = 0 $$

となって実数解をもたない。もし $a = 2$ であれば、$4 + b^2 + c^2 = 2bc$ となり、

$$ (b - c)^2 + 4 = 0 $$

となって実数解をもたない。したがって、$a \geqq 3$ である。 $a \leqq b \leqq c$ より、$b \geqq 3$ かつ $c \geqq 3$ である。これを用いて $z - c$ を評価すると、

$$ z - c = (bc - a) - c = c(b - 1) - a $$

$b \geqq 3$ であるから、

$$ z - c \geqq 2c - a $$

ここで、$c \geqq a$ であるから、

$$ 2c - a = c + (c - a) \geqq c > 0 $$

したがって、$z > c$ が成り立つ。以上より、$z = bc - a$ とおけば、$z$ は正の整数であり、$b \leqq c < z$ となる。よって、この $z$ を用いれば組 $(b, c, z)$ が条件(A)を満たすことが示された。

(3)

(1)より、組 $(3, 3, 3)$ は条件(A)を満たす。そこで、第1項を $(x_1, y_1, z_1) = (3, 3, 3)$ とし、数列の組 $(x_n, y_n, z_n)$ を次のように帰納的に定める。

$$ (x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1}) = (y_n, z_n, y_n z_n - x_n) \quad (n = 1, 2, \dots) $$

（2）で示した事実から、組 $(x_n, y_n, z_n)$ が条件(A)を満たすならば、次項の組 $(x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1})$ も条件(A)を満たす。よって、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について組 $(x_n, y_n, z_n)$ は条件(A)を満たす。また、(2)の証明において、新しく作られた要素は元の最大要素よりも真に大きくなること、すなわち $z > c$ が成り立つことを示しているため、

$$ z_{n+1} > z_n $$

がすべての $n$ において成り立つ。数列 $\{z_n\}$ は真に単調増加する正の整数の列であるため、得られる組 $(x_n, y_n, z_n)$ はすべて互いに異なる。したがって、条件(A)を満たす組 $(x, y, z)$ は無数に存在する。

解説

本問は「マルコフ方程式」と呼ばれる有名なディオファントス方程式（整数方程式）の派生問題である。
(2)において、2次方程式の「解と係数の関係」を用いて、ある解から別の解を作り出す手法は「ヴィエタの跳躍（Vieta jumping）」と呼ばれる強力なテクニックである。
（2）で $z \geqq c$（または $z > c$）となることを示す際、$a \geqq 3$ であることを引き出す部分がポイントとなる。平方完成を用いて $a=1, 2$ のときに解が存在しないことを示すことで論証できる。