トップ› 東京大学› 2019年› 理系第4問

東京大学 2019年理系第4問解説

方針・初手

（1） 2つの多項式の最大公約数を求める問題である。文字式の最大公約数は、ユークリッドの互除法を用いて次数を下げていく。（2） (1)で求めた最大公約数の結果を利用する。「互いに素な2つの整数の積が平方数ならば、それぞれが平方数である」という性質を用いて背理法で示す。整数の方程式が解を持たないことを示すには、合同式を用いた余りの評価が有効である。

解法1

(1)

ユークリッドの互除法を用いる。$5n^2 + 9$ を $n^2 + 1$ で割ると、

$$ 5n^2 + 9 = 5(n^2 + 1) + 4 $$

と表せる。したがって、$5n^2 + 9$ と $n^2 + 1$ の最大公約数 $d_n$ は、$n^2 + 1$ と $4$ の最大公約数に等しい。 $n$ の偶奇によって場合分けを行う。

(i)

$n$ が偶数のとき

$n = 2k$ （$k$ は正の整数）とおける。このとき、

$$ n^2 + 1 = (2k)^2 + 1 = 4k^2 + 1 $$

$4k^2$ は $4$ の倍数であるから、$n^2 + 1$ を $4$ で割った余りは $1$ となる。よって、$n^2 + 1$ と $4$ は互いに素であり、最大公約数は $1$ である。

(ii)

$n$ が奇数のとき

$n = 2k - 1$ （$k$ は正の整数）とおける。このとき、

$$ n^2 + 1 = (2k - 1)^2 + 1 = 4k^2 - 4k + 2 = 4(k^2 - k) + 2 $$

$k^2 - k = k(k - 1)$ は連続する2つの整数の積であるから偶数である。よって、$4(k^2 - k)$ は $8$ の倍数となり、$n^2 + 1$ を $4$ で割った余りは $2$ となる。したがって、$n^2 + 1$ と $4$ の最大公約数は $2$ である。

以上より、求める最大公約数 $d_n$ は、 $n$ が偶数のとき $d_n = 1$ $n$ が奇数のとき $d_n = 2$

(2)

$(n^2 + 1)(5n^2 + 9)$ が整数の2乗になると仮定して矛盾を導く。(1)と同様に $n$ の偶奇で場合分けをする。

(i)

$n$ が偶数のとき

(1)より、$n^2 + 1$ と $5n^2 + 9$ の最大公約数は $1$ であり、互いに素である。互いに素な2つの正の整数の積が平方数（整数の2乗）であるとき、それぞれは平方数でなければならない。よって、$a$ を正の整数として、

$$ n^2 + 1 = a^2 $$

とおける。これを変形すると、

$$ a^2 - n^2 = 1 $$

$$ (a - n)(a + n) = 1 $$

$a, n$ は正の整数であるから、$a + n > 0$ である。積が $1$ となる整数の組は $(1, 1)$ または $(-1, -1)$ であり、$a + n > 0$ より、

$$ \begin{cases} a - n = 1 \\ a + n = 1 \end{cases} $$

これを解くと $a = 1, n = 0$ となる。しかし、$n$ は $1$ 以上の整数であるという条件に矛盾する。

(ii)

$n$ が奇数のとき

(1)より、$n^2 + 1$ と $5n^2 + 9$ の最大公約数は $2$ である。したがって、$A, B$ を互いに素な正の整数として、

$$ n^2 + 1 = 2A, \quad 5n^2 + 9 = 2B $$

とおける。このとき、

$$ (n^2 + 1)(5n^2 + 9) = 2A \cdot 2B = 4AB $$

これが平方数であると仮定すると、$AB$ も平方数でなければならない。 $A$ と $B$ は互いに素であるから、それぞれが平方数でなければならない。よって、$b$ を正の整数として、$B = b^2$ とおける。これを $5n^2 + 9 = 2B$ に代入すると、

$$ 5n^2 + 9 = 2b^2 $$

この両辺について、$5$ で割った余りを考える（$\pmod 5$）。左辺は $5n^2 + 9 \equiv 9 \equiv 4 \pmod 5$ である。一方、右辺について、整数 $b$ を $5$ で割った余りは $0, 1, 2, 3, 4$ のいずれかであり、それぞれの $b^2$ を $5$ で割った余りは $0, 1, 4, 4, 1$ となる。したがって、$2b^2$ を $5$ で割った余りは、それぞれを2倍して $0, 2, 3$ のいずれかになる。よって、すべての整数 $b$ において、

$$ 2b^2 \not\equiv 4 \pmod 5 $$

となり、矛盾が生じる。

（i）, （ii）のいずれの場合も矛盾が生じたため、仮定は誤りである。したがって、$(n^2 + 1)(5n^2 + 9)$ は整数の2乗にならない。

解説

(1)は文字式の最大公約数を求める典型問題であり、ユークリッドの互除法が有効である。除法の等式 $A = BQ + R$ において、$A$ と $B$ の最大公約数が $B$ と $R$ の最大公約数に等しいことを利用する。 (2)は(1)の誘導に乗ることが重要である。互いに素な2数の積が平方数になる条件や、最大公約数が $g$ のときに2数を $ga, gb$ （$a, b$ は互いに素）と置く手法を用いる。また、方程式が整数解を持たないことの証明として、合同式（余りによる分類）を利用するのも基本的な方針である。本解法では $\pmod 5$ を利用したが、$\pmod 8$ などを利用して矛盾を導くこともできる。