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北海道大学 1970年文系第4問解説

方針・初手

放物線の「焦点からの距離と準線からの距離が等しい」という定義を利用して、焦点の座標を求めることから始める。点 A と点 B の $y$ 座標には三角関数が含まれており、そのまま計算すると煩雑になるため、まずはこれらを文字でおき、和・差・積の形に整理して計算を簡略化することがポイントである。準線が $x$ 軸（$y=0$）であるため、点から準線までの距離は $y$ 座標の絶対値として簡単に表すことができる。

解法1

（1）焦点の座標を $\theta$ で表せ。

点 A の $y$ 座標を $y_A$、点 B の $y$ 座標を $y_B$ とおく。

$$ y_A = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}, \quad y_B = \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} $$

問題の条件から、これらが座標として定義されるためには分母が $0$ ではない必要がある。したがって $\cos\theta \neq \pm 1$ であり、これより $\sin\theta \neq 0$ であることがわかる。後の計算のために、$y_A$ と $y_B$ の和、差、積を計算しておく。

$$ \begin{aligned} y_A + y_B &= \frac{\sin\theta(1-\cos\theta) + \sin\theta(1+\cos\theta)}{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)} = \frac{2\sin\theta}{1-\cos^2\theta} = \frac{2\sin\theta}{\sin^2\theta} = \frac{2}{\sin\theta} \\ y_B - y_A &= \frac{\sin\theta(1+\cos\theta) - \sin\theta(1-\cos\theta)}{1-\cos^2\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta} = \frac{2\cos\theta}{\sin\theta} \\ y_A y_B &= \frac{\sin^2\theta}{1-\cos^2\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} = 1 \end{aligned} $$

求める放物線の焦点 $F$ の座標を $(p, q)$ とする。放物線の定義により、放物線上の点から焦点までの距離の2乗は、準線 $y=0$ までの距離の2乗に等しい。点 A, B はこの放物線上にあるため、以下が成り立つ。

$$ (1-p)^2 + (y_A-q)^2 = y_A^2 $$

$$ (-1-p)^2 + (y_B-q)^2 = y_B^2 $$

これらを展開して整理すると、次の2式を得る。

$$ (1-p)^2 = 2q y_A - q^2 \quad \cdots \text{(i)} $$

$$ (1+p)^2 = 2q y_B - q^2 \quad \cdots \text{(ii)} $$

(ii) から (i) を辺々引く。

$$ (1+p)^2 - (1-p)^2 = 2q(y_B - y_A) $$

$$ 4p = 2q \cdot \frac{2\cos\theta}{\sin\theta} $$

$$ p = q \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \quad \cdots \text{(iii)} $$

次に、(i) と (ii) を辺々足す。

$$ (1-p)^2 + (1+p)^2 = 2q(y_A + y_B) - 2q^2 $$

$$ 2 + 2p^2 = 2q \cdot \frac{2}{\sin\theta} - 2q^2 $$

$$ 1 + p^2 = \frac{2q}{\sin\theta} - q^2 $$

この式に (iii) を代入する。

$$ 1 + q^2 \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{2q}{\sin\theta} - q^2 $$

$$ 1 + q^2 \left( \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} + 1 \right) = \frac{2q}{\sin\theta} $$

$$ 1 + q^2 \left( \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\sin^2\theta} \right) = \frac{2q}{\sin\theta} $$

$$ 1 + \frac{q^2}{\sin^2\theta} = \frac{2q}{\sin\theta} $$

両辺に $\sin^2\theta$ （$\neq 0$）を掛けて整理する。

$$ \sin^2\theta + q^2 - 2q\sin\theta = 0 $$

$$ (q - \sin\theta)^2 = 0 $$

これより $q = \sin\theta$ を得る。 (iii) に代入して $p$ を求める。

$$ p = \sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta $$

したがって、焦点の座標は $(\cos\theta, \sin\theta)$ である。

（2）放物線の方程式を求めよ。

焦点が $(\cos\theta, \sin\theta)$、準線が $y=0$ であるから、放物線上の点 $(x, y)$ と焦点の距離の2乗は、準線までの距離の2乗に等しい。

$$ (x-\cos\theta)^2 + (y-\sin\theta)^2 = y^2 $$

$$ (x-\cos\theta)^2 + y^2 - 2y\sin\theta + \sin^2\theta = y^2 $$

$$ 2y\sin\theta = (x-\cos\theta)^2 + \sin^2\theta $$

$\sin\theta \neq 0$ であるから、両辺を $2\sin\theta$ で割る。

$$ y = \frac{1}{2\sin\theta}(x-\cos\theta)^2 + \frac{\sin\theta}{2} $$

これが求める放物線の方程式である。

（3）$\theta$ が変化するとき頂点の軌跡を求めよ。

（2）で求めた放物線の方程式より、頂点の座標を $(X, Y)$ とすると以下のように表せる。

$$ X = \cos\theta $$

$$ Y = \frac{\sin\theta}{2} \implies 2Y = \sin\theta $$

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ にこれらを代入して $\theta$ を消去する。

$$ X^2 + (2Y)^2 = 1 $$

$$ X^2 + 4Y^2 = 1 $$

ここで、（1）で確認したように $\cos\theta \neq \pm 1$ であるため、$X \neq \pm 1$ である。したがって、求める軌跡は楕円 $x^2 + 4y^2 = 1$ であり、点 $(1, 0)$ および $(-1, 0)$ を除く。

解法2

（1）および（2）の別解

準線が $x$ 軸（$y=0$）である放物線について、頂点の座標を $(X, Y)$ とおく。頂点から準線までの距離は $|Y|$ である。放物線は準線と交わらないため $Y \neq 0$ であり、頂点から焦点への有向距離も $Y$ となる。したがって、焦点の座標は $(X, 2Y)$ と表すことができ、放物線の方程式は以下のように書ける。

$$ y = \frac{1}{4Y}(x-X)^2 + Y $$

点 A $(1, y_A)$、点 B $(-1, y_B)$ がこの放物線上にあるため、これらを代入する。

$$ y_A = \frac{1}{4Y}(1-X)^2 + Y $$

$$ y_B = \frac{1}{4Y}(-1-X)^2 + Y $$

辺々の差をとると、以下のようになる。

$$ y_B - y_A = \frac{1}{4Y} \left\{ (-1-X)^2 - (1-X)^2 \right\} = \frac{4X}{4Y} = \frac{X}{Y} $$

解法1と同様の計算から $y_B - y_A = \frac{2\cos\theta}{\sin\theta}$ であるため、次を得る。

$$ \frac{X}{Y} = \frac{2\cos\theta}{\sin\theta} \implies X = \frac{2Y\cos\theta}{\sin\theta} $$

次に、辺々の和をとる。

$$ y_A + y_B = \frac{1}{4Y} \left\{ (1-X)^2 + (-1-X)^2 \right\} + 2Y = \frac{2 + 2X^2}{4Y} + 2Y = \frac{1+X^2}{2Y} + 2Y $$

解法1と同様に $y_A + y_B = \frac{2}{\sin\theta}$ であり、$X$ を代入して整理する。

$$ \begin{aligned} \frac{2}{\sin\theta} &= \frac{1 + \left( \frac{2Y\cos\theta}{\sin\theta} \right)^2}{2Y} + 2Y \\ &= \frac{\sin^2\theta + 4Y^2\cos^2\theta}{2Y\sin^2\theta} + \frac{4Y^2\sin^2\theta}{2Y\sin^2\theta} \\ &= \frac{\sin^2\theta + 4Y^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}{2Y\sin^2\theta} \\ &= \frac{\sin^2\theta + 4Y^2}{2Y\sin^2\theta} \end{aligned} $$

両辺に $2Y\sin^2\theta$ を掛けて整理する。

$$ 4Y\sin\theta = \sin^2\theta + 4Y^2 $$

$$ 4Y^2 - 4Y\sin\theta + \sin^2\theta = 0 $$

$$ (2Y - \sin\theta)^2 = 0 $$

よって、$Y = \frac{\sin\theta}{2}$ を得る。これを $X$ の式に代入する。

$$ X = \frac{2 \cdot \frac{\sin\theta}{2} \cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta $$

したがって、焦点の座標 $(X, 2Y)$ は $(\cos\theta, \sin\theta)$ となる。これを最初に立てた放物線の方程式に代入すると、（2）の答えが得られる。

$$ y = \frac{1}{2\sin\theta}(x-\cos\theta)^2 + \frac{\sin\theta}{2} $$

（3）については解法1と同様である。

解説

放物線の定義「焦点からの距離と準線からの距離が等しい」を正しく立式できるかが本問の最大のポイントである。定義を用いず、最初から放物線の方程式を $y = ax^2+bx+c$ と設定して点 A, B の座標を代入する方針も考えられるが、計算が非常に煩雑になりやすい。解法1のように図形的定義から連立方程式を作るか、解法2のように頂点を基準とした一般形を用いることで、計算量を現実的な範囲に抑えることができる。また、図形と方程式の問題においてパラメータが含まれる場合、隠れた前提条件（本問では分母 $\neq 0$）が軌跡の「除外点」として現れることを見落とさないように注意したい。