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東北大学 1963年文系第4問解説

方針・初手

放物線の定義「焦点からの距離と、準線からの距離が等しい点の軌跡」を用いる。焦点の座標を $(X, Y)$ とおき、与えられた2点 $A, B$ がこの条件を満たすことから $X, Y$ の連立方程式を立てて解く。求めた焦点と準線から放物線の方程式を導出し、最後にパラメータ $\theta$ を消去して軌跡を求める。

解法1

(1)

焦点の座標を $F(X, Y)$ とおく。放物線の定義より、放物線上の点から焦点 $F$ までの距離と、準線（$x$軸、すなわち $y=0$）までの距離は等しい。点 $A \left( 1, \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} \right)$ が放物線上にあるため、次が成り立つ。

$$ (1 - X)^2 + \left( \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} - Y \right)^2 = \left( \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} \right)^2 $$

左辺を展開して整理すると、

$$ (1 - X)^2 - 2Y \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} + Y^2 = 0 \quad \cdots \text{(i)} $$

同様に、点 $B \left( -1, \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} \right)$ が放物線上にあるため、

$$ (-1 - X)^2 + \left( \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} - Y \right)^2 = \left( \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} \right)^2 $$

これを整理すると、

$$ (1 + X)^2 - 2Y \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} + Y^2 = 0 \quad \cdots \text{(ii)} $$

(ii) から (i) を引くと、

$$ (1 + X)^2 - (1 - X)^2 - 2Y \left( \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} - \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} \right) = 0 $$

$$ 4X - 2Y \cdot \frac{2\cos\theta}{\sin\theta} = 0 $$

これより、

$$ X = Y \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \quad \cdots \text{(iii)} $$

(iii) を (ii) に代入して $X$ を消去する。

$$ \left( 1 + Y \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \right)^2 - 2Y \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta} + Y^2 = 0 $$

展開して $Y$ について整理する。

$$ 1 + 2Y \frac{\cos\theta}{\sin\theta} + Y^2 \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} - \frac{2Y}{\sin\theta} - 2Y \frac{\cos\theta}{\sin\theta} + Y^2 = 0 $$

$$ Y^2 \left( \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} + 1 \right) - \frac{2Y}{\sin\theta} + 1 = 0 $$

$$ Y^2 \left( \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\sin^2\theta} \right) - \frac{2Y}{\sin\theta} + 1 = 0 $$

$$ \frac{Y^2}{\sin^2\theta} - \frac{2Y}{\sin\theta} + 1 = 0 $$

$$ \left( \frac{Y}{\sin\theta} - 1 \right)^2 = 0 $$

これより $\frac{Y}{\sin\theta} = 1$、すなわち $Y = \sin\theta$ を得る。これを (iii) に代入して、

$$ X = \sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta $$

したがって、焦点の座標は $(\cos\theta, \sin\theta)$ である。

(2)

焦点が $(\cos\theta, \sin\theta)$ で、準線が $x$軸（$y = 0$）である放物線の方程式を求める。放物線上の任意の点を $P(x, y)$ とすると、定義より $P$ から焦点までの距離の2乗と、$x$軸までの距離の2乗は等しい。

$$ (x - \cos\theta)^2 + (y - \sin\theta)^2 = y^2 $$

展開して整理する。

$$ (x - \cos\theta)^2 + y^2 - 2y\sin\theta + \sin^2\theta = y^2 $$

$$ 2y\sin\theta = (x - \cos\theta)^2 + \sin^2\theta $$

問題文の点 $A, B$ の座標から $\sin\theta \neq 0$ が前提となっているため、両辺を $2\sin\theta$ で割ることができる。

$$ y = \frac{1}{2\sin\theta}(x - \cos\theta)^2 + \frac{\sin\theta}{2} $$

(3)

(1) より、焦点の座標 $(x, y)$ は $x = \cos\theta, y = \sin\theta$ と表せる。したがって、

$$ x^2 + y^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 $$

また、(2) で求めた放物線の方程式から、頂点の座標 $(x, y)$ は $x = \cos\theta, y = \frac{\sin\theta}{2}$ である。これを $\cos\theta = x, \sin\theta = 2y$ と変形して関係式に代入すると、

$$ x^2 + (2y)^2 = 1 \iff x^2 + 4y^2 = 1 $$

ここで、前述の通り $\sin\theta \neq 0$ である。焦点について $y = \sin\theta \neq 0$ より、円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の $y = 0$ となる点、すなわち $(1, 0)$ と $(-1, 0)$ は除外される。頂点についても $y = \frac{\sin\theta}{2} \neq 0$ より、楕円 $x^2 + 4y^2 = 1$ 上の $y = 0$ となる点 $(1, 0)$ と $(-1, 0)$ は除外される。

解説

放物線の定義（焦点からの距離と準線からの距離が等しい）を素直に立式できるかが問われている問題である。点 $A, B$ の $y$座標をそのまま2乗すると計算が煩雑になるが、方程式を立てて定数項を相殺させることで非常にシンプルに処理できる。また、最後の軌跡において、元の式で暗黙的に設定されている定義域の条件（分母 $\sin\theta \neq 0$）に基づく除外点の確認を忘れないように注意が必要である。