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大阪大学 2002年理系第2問解説

方針・初手

四角形 $PQSR$ が長方形になる条件は、対角線の中点が一致し、かつ対角線の長さが等しい（または隣り合う2辺が直交する）ことである。この条件を立式し、文字 $b, c, d$ を $a$ で表す。その後は座標平面上で各線分と曲線の位置関係を把握しながら、直線の方程式を求めて図形的に処理していく。面積計算では、複雑な領域を台形や三角形の和・差として分割して定積分と組み合わせるとよい。

解法1

(1)

四角形 $PQSR$ が長方形であるための条件は、対角線 $PS$ と $QR$ の中点が一致し、かつ $PS = QR$ となることである。

$P\left(a, \frac{1}{a}\right)$, $Q\left(b, \frac{1}{b}\right)$, $R\left(c, \frac{1}{c}\right)$, $S\left(d, \frac{1}{d}\right)$ について、中点が一致する条件より、

$$ \begin{cases} \frac{a+d}{2} = \frac{b+c}{2} \\ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{d}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \end{cases} $$

これらを整理すると、

$$ \begin{cases} a+d = b+c \\ \frac{a+d}{ad} = \frac{b+c}{bc} \end{cases} $$

ここで $a+d = b+c \neq 0$ と仮定すると、$ad = bc$ となる。このとき、和と積が等しいため $a, d$ は $b, c$ と同じ2次方程式の解となり、$\{a, d\} = \{b, c\}$ となるが、これは $d < c < 0 < b < a$ に矛盾する。

したがって $a+d = b+c = 0$ であり、$d = -a, c = -b$ を得る。

次に対角線の長さが等しい条件 $PS^2 = QR^2$ より、

$$ (a-d)^2 + \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{d}\right)^2 = (b-c)^2 + \left(\frac{1}{b} - \frac{1}{c}\right)^2 $$

$d = -a, c = -b$ を代入すると、

$$ (2a)^2 + \left(\frac{2}{a}\right)^2 = (2b)^2 + \left(\frac{2}{b}\right)^2 $$

$$ a^2 + \frac{1}{a^2} = b^2 + \frac{1}{b^2} $$

$$ (a^2 - b^2) - \left(\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2}\right) = 0 $$

$$ (a^2 - b^2) \left(1 - \frac{1}{a^2b^2}\right) = 0 $$

$0 < b < a$ より $a^2 \neq b^2$ であるから、

$$ 1 - \frac{1}{a^2b^2} = 0 \iff a^2b^2 = 1 $$

$a > 0, b > 0$ より $ab = 1$、すなわち $b = \frac{1}{a}$ を得る。

これより $c = -\frac{1}{a}, d = -a$。このとき、条件 $d < c < 0 < b < a$ は $-a < -\frac{1}{a} < 0 < \frac{1}{a} < a$ となり、$a > 1$ であることが分かる。

(2)

（1）より、各点の座標は $P\left(a, \frac{1}{a}\right)$, $Q\left(\frac{1}{a}, a\right)$, $R\left(-\frac{1}{a}, -a\right)$, $S\left(-a, -\frac{1}{a}\right)$ である。

直線 $PR$ の傾きは、

$$ \frac{\frac{1}{a} - (-a)}{a - \left(-\frac{1}{a}\right)} = 1 $$

よって直線 $PR$ の方程式は $y - \frac{1}{a} = 1 \cdot (x - a)$ より $y = x - a + \frac{1}{a}$ となる。 $x$ 軸との交点 $T$ は $y=0$ として $x = a - \frac{1}{a}$ なので、$T\left(a - \frac{1}{a}, 0\right)$。

同様に、直線 $QS$ の傾きも 1 であり、方程式は $y - a = 1 \cdot \left(x - \frac{1}{a}\right)$ より $y = x + a - \frac{1}{a}$。 $y$ 軸との交点 $U$ は $x=0$ として $y = a - \frac{1}{a}$ なので、$U\left(0, a - \frac{1}{a}\right)$。

$T$ と $U$ を結ぶ直線 $TU$ の方程式は、 $x$ 切片と $y$ 切片がともに $a - \frac{1}{a}$ であるから、

$$ x + y = a - \frac{1}{a} $$

$a > 1$ より $a - \frac{1}{a} > 0$ であり、線分 $TU$ はこの直線上の $x \ge 0, y \ge 0$ の部分である。

線分 $TU$ と曲線 $C: y = \frac{1}{x}$ が共有点をもたない条件を求める。 $y = \frac{1}{x}$ を $x + y = a - \frac{1}{a}$ に代入すると、

$$ x + \frac{1}{x} = a - \frac{1}{a} $$

$$ x^2 - \left(a - \frac{1}{a}\right)x + 1 = 0 $$

$x > 0$ において相加・相乗平均の関係より $x + \frac{1}{x} \ge 2$ であるから、この方程式が正の実数解をもつ条件は $a - \frac{1}{a} \ge 2$ である。したがって、共有点をもたない条件は $a - \frac{1}{a} < 2$ となる。

$$ a^2 - 2a - 1 < 0 $$

これを解くと $1 - \sqrt{2} < a < 1 + \sqrt{2}$。 $a > 1$ と合わせて、求める範囲は $1 < a < 1 + \sqrt{2}$ である。

(3)

求める面積 $S(a)$ は、上端が曲線 $C: y = \frac{1}{x}$ であり、下端が 3つの線分 $UQ, UT, TP$ で囲まれた図形の面積である。各点の座標は $U\left(0, a - \frac{1}{a}\right)$, $Q\left(\frac{1}{a}, a\right)$, $P\left(a, \frac{1}{a}\right)$, $T\left(a - \frac{1}{a}, 0\right)$。

$x$ 軸上に $Q'\left(\frac{1}{a}, 0\right), P'(a, 0)$ をとる。 $S(a)$ は、曲線 $C$ の下側の面積に、線分 $UQ$ の下側（台形 $OUQQ'$）を足し、余分な線分 $UT$ の下側（三角形 $OUT$）と線分 $TP$ の下側（三角形 $TP'P$）を引くことで求められる。

$$ S(a) = \int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{1}{x} \, dx + (\text{台形 } OUQQ') - (\triangle OUT) - (\triangle TP'P) $$

各部分の面積を計算する。

曲線 $C$ の下側の面積：

$$ \int_{\frac{1}{a}}^{a} \frac{1}{x} \, dx = [\log x]_{\frac{1}{a}}^{a} = \log a - \log\left(\frac{1}{a}\right) = 2\log a $$

台形 $OUQQ'$ の面積：

$$ \frac{1}{2} \left( \left(a - \frac{1}{a}\right) + a \right) \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{2} \left( 2a - \frac{1}{a} \right) \frac{1}{a} = 1 - \frac{1}{2a^2} $$

三角形 $OUT$ の面積：

$$ \frac{1}{2} \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = \frac{1}{2} \left( a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} \right) = \frac{a^2}{2} - 1 + \frac{1}{2a^2} $$

三角形 $TP'P$ の面積：

$$ \frac{1}{2} \left( a - \left(a - \frac{1}{a}\right) \right) \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{2a^2} $$

これらを代入して整理する。

$$ \begin{aligned} S(a) &= 2\log a + \left( 1 - \frac{1}{2a^2} \right) - \left( \frac{a^2}{2} - 1 + \frac{1}{2a^2} \right) - \frac{1}{2a^2} \\ &= 2\log a - \frac{a^2}{2} - \frac{3}{2a^2} + 2 \end{aligned} $$

(4)

（3）で求めた $S(a)$ を $a$ で微分する。

$$ \begin{aligned} S'(a) &= \frac{2}{a} - a - \frac{3}{2}(-2)a^{-3} \\ &= \frac{2}{a} - a + \frac{3}{a^3} \\ &= \frac{2a^2 - a^4 + 3}{a^3} \\ &= \frac{-(a^4 - 2a^2 - 3)}{a^3} \\ &= \frac{-(a^2 - 3)(a^2 + 1)}{a^3} \end{aligned} $$

$1 < a < 1 + \sqrt{2}$ の範囲において、$a^3 > 0, a^2 + 1 > 0$ であるため、$S'(a)$ の符号は $-(a^2 - 3)$ と一致する。

$S'(a) = 0$ となるのは $a^2 = 3$、すなわち $a = \sqrt{3}$ のときである（$1 < \sqrt{3} < 1+\sqrt{2}$ を満たす）。

増減表は以下のようになる。

$a$	$(1)$	$\cdots$	$\sqrt{3}$	$\cdots$	$(1+\sqrt{2})$
$S'(a)$		$+$	$0$	$-$
$S(a)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

したがって、$S(a)$ は $a = \sqrt{3}$ で最大となる。

最大値は、

$$ \begin{aligned} S(\sqrt{3}) &= 2\log\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{3})^2}{2} - \frac{3}{2(\sqrt{3})^2} + 2 \\ &= \log 3 - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + 2 \\ &= \log 3 \end{aligned} $$

解説

双曲線上の点からなる長方形の性質を用いた問題である。(1)では、長方形の定義である「対角線の中点が一致する」「対角線の長さが等しい」という条件から文字を消去していく。(2)では直線の方程式を正確に求め、$y=1/x$ と $x+y=k$ の交点条件（相加・相乗平均などの利用も可能）に帰着させる。(3)の面積計算では、積分区間を分割して定積分を計算してもよいが、解説のように基本図形（台形や三角形）の面積を加減算することで計算量を減らし、ミスを防ぐ工夫が有効である。(4)の微分は基本関数の微分であり、極値をとる $a$ の値の特定も容易である。図形的な意味を式に正しく落とし込めるかが問われる良問である。