トップ› 北海道大学› 1975年› 文系第5問

北海道大学 1975年文系第5問解説

方針・初手

(1) 3点が同一直線上にある条件は、任意の2点間を結ぶ直線の傾きが等しいことである。 (2) 曲線上の点における接線の方程式を求め、それが点 $P$ を通るという条件を立式する。接点の $x$ 座標についての3次方程式が得られるので、それが異なる3つの実数解をもつ条件を考える。 (3) (2) で立式した3次方程式の解を接点の $x$ 座標とし、3次方程式の解と係数の関係を利用して重心の座標を計算する。

解法1

(1)

3点 $A(a, a^3)$, $B(b, b^3)$, $C(c, c^3)$ は相異なるため、$a, b, c$ は互いに異なる実数である。 3点が同一直線上にあるための条件は、直線 $AB$ の傾きと直線 $AC$ の傾きが等しいことである。

直線 $AB$ の傾きは

$$ \frac{b^3 - a^3}{b - a} = a^2 + ab + b^2 $$

直線 $AC$ の傾きは

$$ \frac{c^3 - a^3}{c - a} = a^2 + ac + c^2 $$

これらが等しいから

$$ a^2 + ab + b^2 = a^2 + ac + c^2 $$

整理すると

$$ b^2 - c^2 + a(b - c) = 0 $$

$$ (b - c)(a + b + c) = 0 $$

$b \neq c$ より $b - c \neq 0$ であるから

$$ a + b + c = 0 $$

これが求める条件である。（前提として $a, b, c$ が互いに異なることを含む）

(2)

曲線 $y = x^3$ について $y' = 3x^2$ である。曲線上の点 $(t, t^3)$ における接線の方程式は

$$ y - t^3 = 3t^2(x - t) $$

すなわち

$$ y = 3t^2x - 2t^3 $$

この接線が点 $P(\alpha, \beta)$ を通るから

$$ \beta = 3\alpha t^2 - 2t^3 $$

$$ 2t^3 - 3\alpha t^2 + \beta = 0 $$

点 $P$ から相異なる3本の接線が引けるための条件は、この接点の $x$ 座標 $t$ についての3次方程式が相異なる3つの実数解をもつことである。 $f(t) = 2t^3 - 3\alpha t^2 + \beta$ とおくと、方程式 $f(t) = 0$ が相異なる3つの実数解をもつためには、関数 $y = f(t)$ が極値をもち、かつ（極大値）$\times$（極小値）$< 0$ となればよい。

導関数 $f'(t)$ は

$$ f'(t) = 6t^2 - 6\alpha t = 6t(t - \alpha) $$

極値をもつための条件は $\alpha \neq 0$ である。このとき、$t = 0, \alpha$ で極値をとる。

$$ f(0) = \beta $$

$$ f(\alpha) = 2\alpha^3 - 3\alpha^3 + \beta = \beta - \alpha^3 $$

したがって、極値の積が負となる条件は

$$ \beta(\beta - \alpha^3) < 0 $$

これが求める $\alpha, \beta$ の条件である。（このとき極値をもつ条件 $\alpha \neq 0$ も満たされている）

この不等式は

$$ \begin{cases} \beta > 0 \\ \beta < \alpha^3 \end{cases} \quad \text{または} \quad \begin{cases} \beta < 0 \\ \beta > \alpha^3 \end{cases} $$

と同値である。よって、点 $P(\alpha, \beta)$ の存在範囲は、$\alpha\beta$ 平面において曲線 $\beta = \alpha^3$ と直線 $\beta = 0$ （$\alpha$ 軸）で囲まれた領域のうち、上の連立不等式を満たす部分となる。

(3)

(2) より、3つの接点の $x$ 座標 $t_1, t_2, t_3$ は、3次方程式 $2t^3 - 3\alpha t^2 + \beta = 0$ の相異なる3つの実数解である。この方程式を $t^3 - \frac{3}{2}\alpha t^2 + \frac{\beta}{2} = 0$ と変形して、3次方程式の解と係数の関係を用いると

$$ \begin{aligned} t_1 + t_2 + t_3 &= \frac{3}{2}\alpha \\ t_1 t_2 + t_2 t_3 + t_3 t_1 &= 0 \\ t_1 t_2 t_3 &= -\frac{\beta}{2} \end{aligned} $$

が成り立つ。

求める三角形の重心の座標を $(x_G, y_G)$ とすると、$x_G$ は

$$ x_G = \frac{t_1 + t_2 + t_3}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}\alpha = \frac{1}{2}\alpha $$

また、$y_G$ は

$$ y_G = \frac{t_1^3 + t_2^3 + t_3^3}{3} $$

ここで、$t_k$ ($k=1, 2, 3$) は $2t_k^3 - 3\alpha t_k^2 + \beta = 0$ を満たすから

$$ t_k^3 = \frac{3}{2}\alpha t_k^2 - \frac{\beta}{2} $$

これを用いて $t_1^3 + t_2^3 + t_3^3$ を次数下げして計算する。

$$ \begin{aligned} t_1^3 + t_2^3 + t_3^3 &= \sum_{k=1}^3 \left( \frac{3}{2}\alpha t_k^2 - \frac{\beta}{2} \right) \\ &= \frac{3}{2}\alpha (t_1^2 + t_2^2 + t_3^2) - \frac{3}{2}\beta \end{aligned} $$

基本対称式を用いて $t_1^2 + t_2^2 + t_3^2$ を計算すると

$$ \begin{aligned} t_1^2 + t_2^2 + t_3^2 &= (t_1 + t_2 + t_3)^2 - 2(t_1 t_2 + t_2 t_3 + t_3 t_1) \\ &= \left(\frac{3}{2}\alpha\right)^2 - 2 \cdot 0 \\ &= \frac{9}{4}\alpha^2 \end{aligned} $$

これを先ほどの式に代入して

$$ \begin{aligned} t_1^3 + t_2^3 + t_3^3 &= \frac{3}{2}\alpha \left(\frac{9}{4}\alpha^2\right) - \frac{3}{2}\beta \\ &= \frac{27}{8}\alpha^3 - \frac{3}{2}\beta \end{aligned} $$

したがって、重心の $y$ 座標は

$$ \begin{aligned} y_G &= \frac{1}{3} \left( \frac{27}{8}\alpha^3 - \frac{3}{2}\beta \right) \\ &= \frac{9}{8}\alpha^3 - \frac{1}{2}\beta \end{aligned} $$

以上より、重心の座標が求まる。

解説

微分の応用問題として非常に標準的かつ重要なテーマである。 (1) は3点が同一直線上にあるための条件を傾きから立式する。 (2) は「接線の本数と接点の個数が一致する」という原則に従い、接点の $x$ 座標についての3次方程式の実数解の個数条件に帰着させる典型処理である。 (3) は(2)で得た方程式に対して解と係数の関係を用い、対称式の計算を行う。3次式の和を求める際に、方程式そのものを利用して次数下げを行う工夫は、計算量を減らしミスを防ぐために効果的である。