東北大学 1991年 理系 第1問 解説

方針・初手

原点を通る接線を求めるには、原点を通る直線を $y=mx$ とおいて曲線 $C$ と連立し、重解条件を用いればよい。

接線 $l_1,\ l_2$ が分かれば、接点と原点で囲まれる部分の面積は、曲線を $y$ の式に直して区間ごとに積分して求める。

解法1

原点を通る直線を

$$ y=mx $$

とおく。これを

$$ xy+\sqrt5(x-y)+4=0 $$

に代入すると、

$$ mx^2+\sqrt5(1-m)x+4=0 $$

を得る。これが接するための条件は、この $x$ の2次方程式が重解をもつことであるから、

$$ {\sqrt5(1-m)}^2-16m=0 $$

すなわち

$$ 5(1-m)^2-16m=0 $$

である。整理すると

$$ 5m^2-26m+5=0 $$

より

$$ m=5,\ \frac15 $$

となる。したがって

$$ l_1:y=5x,\qquad l_2:y=\frac{x}{5} $$

である。

次に接点を求める。

(i) $l_1:y=5x$ のとき

$$ 5x^2-4\sqrt5,x+4=0 $$

となり、重解だから

$$ x=\frac{4\sqrt5}{10}=\frac{2\sqrt5}{5} $$

である。よって接点は

$$ P\left(\frac{2\sqrt5}{5},,2\sqrt5\right) $$

である。

(ii) $l_2:y=\dfrac{x}{5}$ のとき

$$ \frac15x^2+\frac{4\sqrt5}{5}x+4=0 $$

となり、重解だから

$$ x=-2\sqrt5 $$

である。よって接点は

$$ Q\left(-2\sqrt5,,-\frac{2\sqrt5}{5}\right) $$

である。

つぎに曲線 $C$ を $y$ について解くと、

$$ y(x-\sqrt5)=-(\sqrt5x+4) $$

より

$$ y=-\sqrt5-\frac{9}{x-\sqrt5} $$

である。

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-2\sqrt5}^{0}\left{\left(-\sqrt5-\frac{9}{x-\sqrt5}\right)-\frac{x}{5}\right}dx +\int_{0}^{\frac{2\sqrt5}{5}}\left{\left(-\sqrt5-\frac{9}{x-\sqrt5}\right)-5x\right}dx $$

となる。

第1項を $S_1$、第2項を $S_2$ とおくと、

$$ S_1=\int_{-2\sqrt5}^{0}\left(-\sqrt5-\frac{9}{x-\sqrt5}-\frac{x}{5}\right)dx $$

であり、

$$ S_1=\left[-\sqrt5,x-9\log|x-\sqrt5|-\frac{x^2}{10}\right]_{-2\sqrt5}^{0} $$

だから

$$ S_1=-9\log\sqrt5-\left(8-9\log(3\sqrt5)\right) =9\log3-8 $$

を得る。

また、

$$ S_2=\int_{0}^{\frac{2\sqrt5}{5}}\left(-\sqrt5-\frac{9}{x-\sqrt5}-5x\right)dx $$

であり、

$$ S_2=\left[-\sqrt5,x-9\log|x-\sqrt5|-\frac{5}{2}x^2\right]_{0}^{\frac{2\sqrt5}{5}} $$

より

$$ S_2=\left(-4-9\log\frac{3\sqrt5}{5}\right)-\left(-9\log\sqrt5\right) =9\log\frac53-4 $$

である。

したがって

$$ S=S_1+S_2 =(9\log3-8)+\left(9\log\frac53-4\right) =9\log5-12 $$

となる。

解説

原点を通る接線を求める典型手法は、直線を $y=mx$ とおいて重解条件を使うことである。これにより接線の傾きが直接求まる。

面積では、曲線の枝と2本の接線がどの区間で境界になるかを確認することが重要である。この問題では、負の側では $l_2:y=\dfrac{x}{5}$、正の側では $l_1:y=5x$ が下側の境界になるため、積分を $x=0$ で分けて計算するのが自然である。

答え

$$ 9\log5-12 $$