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北海道大学 1982年文系第4問解説

方針・初手

曲線 $y = x^2 - t^2$ ($x \geqq 0$) は、$y$ 軸上の点 $(0, -t^2)$ を頂点とする下に凸の放物線の一部であり、$x$ 軸との交点は $x = t$ である。求める面積 $S(t)$ は、区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において、この曲線と $x$ 軸とで囲まれた部分の面積である。曲線と $x$ 軸の上下関係は $x = t$ を境に入れ替わるため、交点 $x = t$ が積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ の内にあるか外にあるか、すなわち $t$ の値によって場合分けをして積分を計算する。

解法1

(1)

曲線 $y = x^2 - t^2$ ($x \geqq 0$) と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$x^2 - t^2 = 0$ かつ $x \geqq 0$ より、$x = t$ である。 $t$ の値によって積分区間における曲線の符号が変わるため、場合分けを行う。

(i) $0 \leqq t \leqq 1$ のとき

区間 $0 \leqq x \leqq t$ では $x^2 - t^2 \leqq 0$ であり、区間 $t \leqq x \leqq 1$ では $x^2 - t^2 \geqq 0$ である。したがって、面積 $S(t)$ は次のように計算できる。

$$ S(t) = \int_{0}^{t} \{0 - (x^2 - t^2)\} dx + \int_{t}^{1} \{(x^2 - t^2) - 0\} dx $$

$$ S(t) = \int_{0}^{t} (t^2 - x^2) dx + \int_{t}^{1} (x^2 - t^2) dx $$

$$ S(t) = \left[ t^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{t} + \left[ \frac{x^3}{3} - t^2 x \right]_{t}^{1} $$

$$ S(t) = \left( t^3 - \frac{t^3}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - t^2 \right) - \left( \frac{t^3}{3} - t^3 \right) $$

$$ S(t) = \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{3} - t^2 + \frac{2}{3}t^3 $$

$$ S(t) = \frac{4}{3}t^3 - t^2 + \frac{1}{3} $$

(ii) $t > 1$ のとき

区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において常に $x^2 - t^2 \leqq 0$ である。（ $x=1$ のとき $1^2 - t^2 < 0$）したがって、面積 $S(t)$ は次のように計算できる。

$$ S(t) = \int_{0}^{1} \{0 - (x^2 - t^2)\} dx $$

$$ S(t) = \int_{0}^{1} (t^2 - x^2) dx $$

$$ S(t) = \left[ t^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} $$

$$ S(t) = t^2 - \frac{1}{3} $$

以上より、$S(t)$ は以下のようになる。

$$ S(t) = \begin{cases} \frac{4}{3}t^3 - t^2 + \frac{1}{3} & (0 \leqq t \leqq 1) \\ t^2 - \frac{1}{3} & (t > 1) \end{cases} $$

(2)

(1) で求めた $S(t)$ について、$t \geqq 0$ における増減を調べる。

(i) $0 \leqq t \leqq 1$ のとき

$$ S(t) = \frac{4}{3}t^3 - t^2 + \frac{1}{3} $$

$t$ で微分すると以下のようになる。

$$ S'(t) = 4t^2 - 2t = 2t(2t - 1) $$

$S'(t) = 0$ とすると、$t = 0, \frac{1}{2}$ である。

(ii) $t > 1$ のとき

$$ S(t) = t^2 - \frac{1}{3} $$

$t$ で微分すると以下のようになる。

$$ S'(t) = 2t $$

$t > 1$ の範囲では常に $S'(t) > 0$ であり、$S(t)$ は単調に増加する。

これらを踏まえ、$t \geqq 0$ における $S(t)$ の増減表をかくと次のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{2}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$S'(t)$	$0$	$-$	$0$	$+$		$+$
$S(t)$	$\frac{1}{3}$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$\frac{2}{3}$	$\nearrow$

表より、$S(t)$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最小値をとる。その最小値は以下のように計算できる。

$$ S\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{3} $$

$$ S\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} $$

$$ S\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} $$

$$ S\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 - 3 + 4}{12} $$

$$ S\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $$

よって、最小値は $\frac{1}{4}$ である。

解説

積分区間に文字が含まれるか、あるいは被積分関数のグラフが動くことによって積分区間内での正負が切り替わる面積問題の典型である。本問では、積分区間 $[0, 1]$ は固定されており、放物線 $y = x^2 - t^2$ の $x$ 切片である $x = t$ が動く。そのため、交点 $t$ が積分区間 $[0, 1]$ の内側にあるか外側にあるかで場合分けをすることが最も重要である。 (2)の最小値を求める際、場合分けの境界である $t=1$ において関数が連続であることを確認しつつ、増減表を全体で一つにまとめて考えると見通しが良い。