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北海道大学 2009年文系第3問解説

方針・初手

(1) は3点 $P, Q, R$ が一直線上にあるための条件を、ベクトルの成分を用いて立式する。計算量と符号の扱いから、ベクトルの成分を用いた実数倍条件、あるいは外積の $z$ 成分に相当する行列式を利用するのが簡明である。

(2) は (1) で求めた範囲において、三角形の面積公式から $t$ の関数 $S(t)$ を立式し、微分を用いて増減を調べる。

解法1

(1) 3点 $P, Q, R$ が一直線上にあるための条件は、$\vec{PR}$ と $\vec{PQ}$ が平行になることである。それぞれのベクトルは、与えられた座標より次のように成分表示される。

$$ \begin{aligned} \vec{PQ} &= (2t - t, 1 - 4t^2 - 0) = (t, 1 - 4t^2) \\ \vec{PR} &= (-t - t, 1 - t^2 - 0) = (-2t, 1 - t^2) \end{aligned} $$

$t > 0$ より $t \neq 0$ であるため、$\vec{PQ}$ の $x$ 成分は $0$ ではない。したがって、2つのベクトルが平行になる条件は、成分のたすき掛けの差（行列式）が $0$ になることである。

$$ \begin{aligned} t(1 - t^2) - (-2t)(1 - 4t^2) &= 0 \\ t - t^3 + 2t - 8t^3 &= 0 \\ 3t - 9t^3 &= 0 \\ 3t(1 - 3t^2) &= 0 \end{aligned} $$

条件より $t > 0$ であるから、両辺を $3t$ で割ることができる。

$$ 1 - 3t^2 = 0 $$

$$ t^2 = \frac{1}{3} $$

$t > 0$ より、求める $t$ の値は以下の通りである。

$$ t = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

(2) (1) の結果より、$t_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

$0 < t < \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、3点 $P, Q, R$ を頂点とする三角形 $\triangle PQR$ の面積 $S(t)$ は、$\vec{PQ}$ と $\vec{PR}$ を用いて次のように表される。

$$ \begin{aligned} S(t) &= \frac{1}{2} |x_{\vec{PQ}} y_{\vec{PR}} - x_{\vec{PR}} y_{\vec{PQ}}| \\ &= \frac{1}{2} |t(1 - t^2) - (-2t)(1 - 4t^2)| \\ &= \frac{1}{2} |3t - 9t^3| \\ &= \frac{1}{2} |3t(1 - 3t^2)| \end{aligned} $$

ここで、$0 < t < \frac{1}{\sqrt{3}}$ の範囲では $t > 0$ かつ $t^2 < \frac{1}{3}$ であるため、$3t > 0$ かつ $1 - 3t^2 > 0$ となる。したがって、絶対値記号の中身は正であるため、そのまま外すことができる。

$$ S(t) = \frac{3}{2}t - \frac{9}{2}t^3 $$

関数 $S(t)$ の増減を調べるため、$t$ について微分する。

$$ S'(t) = \frac{3}{2} - \frac{27}{2}t^2 = \frac{3}{2}(1 - 9t^2) $$

$S'(t) = 0$ とすると $1 - 9t^2 = 0$ となり、$t^2 = \frac{1}{9}$ を得る。 $0 < t < \frac{1}{\sqrt{3}}$ の範囲を満たす解は $t = \frac{1}{3}$ である。

導関数の符号変化を調べると、 $0 < t < \frac{1}{3}$ のとき $S'(t) > 0$ であり、$S(t)$ は単調増加する。 $\frac{1}{3} < t < \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき $S'(t) < 0$ であり、$S(t)$ は単調減少する。

したがって、$S(t)$ は $t = \frac{1}{3}$ において最大値をとる。そのときの最大値は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S\left(\frac{1}{3}\right) &= \frac{3}{2}\left(\frac{1}{3}\right) - \frac{9}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^3 \\ &= \frac{1}{2} - \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{27} \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$