北海道大学 1986年 文系 第4問 解説

方針・初手

求める直線を $l$ とし、$l$ と $g$ の交点を $P$ とおく。

点 $P$ は直線 $g$ 上にあることから、パラメータ $t$ を用いて $P$ の座標を表すことができる。

直線 $l$ は原点と点 $P$ を通るため、その方向ベクトルは $\vec{OP}$ となる。

直線 $g$ と $l$ の交角が $60^\circ$ であるという条件を、2つの直線の方向ベクトルのなす角を用いて方程式を立てることで $t$ を求める。

解法1

直線 $g$ の方程式は

$$ \frac{x-3}{2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z}{1} $$

であるから、直線 $g$ の方向ベクトルを $\vec{u}$ とすると

$$ \vec{u} = (2, 1, 1) $$

ととれる。

求める直線を $l$ とし、$l$ と $g$ の交点を $P$ とする。

点 $P$ は直線 $g$ 上の点であるから、実数 $t$ を用いて

$$ P(2t+3, t+3, t) $$

とおける。

直線 $l$ は原点 $O(0,0,0)$ を通るため、直線 $l$ の方向ベクトルは $\vec{OP}$ である。

$$ \vec{OP} = (2t+3, t+3, t) $$

直線 $g$ と直線 $l$ の交角が $60^\circ$ であるから、2つの方向ベクトル $\vec{u}$ と $\vec{OP}$ のなす角は $60^\circ$ または $120^\circ$ となる。

したがって、内積について次が成り立つ。

$$ |\vec{u} \cdot \vec{OP}| = |\vec{u}| |\vec{OP}| \cos 60^\circ $$

ここで、各成分の計算を行う。

$$ |\vec{u}|^2 = 2^2 + 1^2 + 1^2 = 6 $$

$$ |\vec{OP}|^2 = (2t+3)^2 + (t+3)^2 + t^2 = 6t^2 + 18t + 18 = 6(t^2 + 3t + 3) $$

$$ \vec{u} \cdot \vec{OP} = 2(2t+3) + 1(t+3) + 1 \cdot t = 6t + 9 = 3(2t + 3) $$

これらを内積の条件式に代入する。

$$ |3(2t + 3)| = \sqrt{6} \sqrt{6(t^2 + 3t + 3)} \cdot \frac{1}{2} $$

両辺は正であるから、2乗して整理する。

$$ 9(2t + 3)^2 = 36(t^2 + 3t + 3) \cdot \frac{1}{4} $$

$$ 9(4t^2 + 12t + 9) = 9(t^2 + 3t + 3) $$

$$ 4t^2 + 12t + 9 = t^2 + 3t + 3 $$

$$ 3t^2 + 9t + 6 = 0 $$

$$ t^2 + 3t + 2 = 0 $$

$$ (t+1)(t+2) = 0 $$

これを解いて、$t = -1, -2$ を得る。

(i) $t = -1$ のとき

点 $P$ の座標は $(1, 2, -1)$ となり、直線 $l$ の方向ベクトルは $\vec{OP} = (1, 2, -1)$ である。

したがって、原点を通る直線 $l$ の方程式は

$$ \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-1} $$

(ii) $t = -2$ のとき

点 $P$ の座標は $(-1, 1, -2)$ となり、直線 $l$ の方向ベクトルは $\vec{OP} = (-1, 1, -2)$ である。

したがって、原点を通る直線 $l$ の方程式は

$$ \frac{x}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-2} $$

以上より、条件を満たす直線の方程式が2つ定まる。

解説

空間における直線の交角に関する標準的な問題である。

2直線の交角は、それらの方向ベクトルのなす角 $\theta$ に対して、鋭角または直角となるようにとる。すなわち、交角を $\alpha$ とすると $\cos \alpha = |\cos \theta|$ の関係が成り立つ。

本問では交角が $60^\circ$ と与えられているため、方向ベクトルのなす角は $60^\circ$ または $120^\circ$ であり、内積の絶対値をとるか、両辺を2乗して処理すれば場合分けをせずに計算を進められる。

答え

$$ \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-1}, \quad \frac{x}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-2} $$