トップ› 九州大学› 1983年› 文系第1問

九州大学 1983年文系第1問解説

方針・初手

直線 $g$ 上の点 $Q$ を媒介変数を用いて表し、直線 $PQ$ と直線 $g$ が垂直である条件（方向ベクトルの内積が $0$）から媒介変数の値を決定する。 (2) は (1) で求めた関係式を利用して内積を $\theta$ の式で表し、三角方程式を解く。計算過程において、成分をすべて展開するよりもベクトルの内積の性質を利用した方が見通しがよい。

解法1

(1)

点 $Q$ は直線 $g:x=y=z$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて $Q(t, t, t)$ とおける。

直線 $g$ の方向ベクトルの1つを $\vec{u} = (1, 1, 1)$ とする。 $\overrightarrow{OP} = (\cos\theta, \sin\theta, 0)$ であり、$\overrightarrow{OQ} = (t, t, t)$ であるから

$$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (t - \cos\theta, t - \sin\theta, t)$$

直線 $PQ$ と直線 $g$ は垂直であるから、$\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{u} = 0$ が成り立つ。

$$(t - \cos\theta) \cdot 1 + (t - \sin\theta) \cdot 1 + t \cdot 1 = 0$$

$$3t - (\cos\theta + \sin\theta) = 0$$

$$t = \frac{\cos\theta + \sin\theta}{3}$$

よって、点 $Q$ の座標は

$$\left( \frac{\cos\theta + \sin\theta}{3}, \frac{\cos\theta + \sin\theta}{3}, \frac{\cos\theta + \sin\theta}{3} \right)$$

次に、$|\overrightarrow{PQ}|$ を求める。 $|\overrightarrow{OP}|^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ であり、また $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ の内積は

$$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = t\cos\theta + t\sin\theta + 0 \cdot t = t(\cos\theta + \sin\theta)$$

ここで、先ほど求めた関係式から $\cos\theta + \sin\theta = 3t$ であるため

$$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = t \cdot 3t = 3t^2$$

したがって、$|\overrightarrow{PQ}|^2$ はベクトルの展開を利用して次のように計算できる。

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{PQ}|^2 &= |\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}|^2 \\ &= |\overrightarrow{OQ}|^2 - 2\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + |\overrightarrow{OP}|^2 \\ &= (t^2 + t^2 + t^2) - 2(3t^2) + 1 \\ &= 3t^2 - 6t^2 + 1 \\ &= 1 - 3t^2 \end{aligned}$$

$t = \frac{\cos\theta + \sin\theta}{3}$ を代入して整理する。

$$\begin{aligned} |\overrightarrow{PQ}|^2 &= 1 - 3 \left( \frac{\cos\theta + \sin\theta}{3} \right)^2 \\ &= 1 - 3 \cdot \frac{1 + 2\sin\theta\cos\theta}{9} \\ &= 1 - \frac{1 + \sin 2\theta}{3} \\ &= \frac{2 - \sin 2\theta}{3} \end{aligned}$$

すべての実数 $\theta$ において $-1 \leqq \sin 2\theta \leqq 1$ であるから、常に $\frac{2 - \sin 2\theta}{3} > 0$ が成り立つ。よって、平方根をとって

$$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{\frac{2 - \sin 2\theta}{3}}$$

(2)

求める内積は $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{PQ}$ である。 (1) の計算過程を用いると

$$\begin{aligned} \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{PQ} &= \overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}) \\ &= \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} - |\overrightarrow{OP}|^2 \\ &= 3t^2 - 1 \end{aligned}$$

条件より、この内積の値が $-\frac{1}{2}$ となるので

$$3t^2 - 1 = -\frac{1}{2}$$

$$3t^2 = \frac{1}{2}$$

ここで (1) の途中計算より $3t^2 = \frac{1 + \sin 2\theta}{3}$ であるから

$$\frac{1 + \sin 2\theta}{3} = \frac{1}{2}$$

$$1 + \sin 2\theta = \frac{3}{2}$$

$$\sin 2\theta = \frac{1}{2}$$

$\theta$ の範囲は $0 < \theta < \pi$ であるから、$2\theta$ の範囲は $0 < 2\theta < 2\pi$ である。この範囲で方程式を解くと

$$2\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$$

したがって

$$\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}$$

解説

空間ベクトルの基本的な問題である。直線上の点を媒介変数で置き、垂直条件から媒介変数を決定する典型的な流れを確実にトレースしたい。 (1)の後半や(2)の計算において、成分のままゴリゴリと計算を進めても正解にはたどり着けるが、展開式 $|\overrightarrow{OQ}|^2 - 2\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + |\overrightarrow{OP}|^2$ などを利用することで計算量を大きく減らし、計算ミスのリスクを抑えることができる。