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北海道大学 1983年文系第1問解説

方針・初手

直線 $l, m$ はそれぞれ原点を通る直線であるため、これら2直線によって定まる平面 $\alpha$ も原点を通る。したがって、平面 $\alpha$ に含まれる直線の方向ベクトルは、直線 $l, m$ の方向ベクトルの一次結合で表すことができる。未知の直線の方向ベクトルをパラメータを用いて設定し、直交条件やなす角の条件からパラメータの比を求める。

解法1

直線 $l, m$ はともに原点 $O$ を通る。直線 $l$ の方向ベクトルを $\vec{d_1}$、直線 $m$ の方向ベクトルを $\vec{d_2}$ とすると、方程式より

$$ \vec{d_1} = (1, -1, 2), \quad \vec{d_2} = (3, 1, 1) $$

である。このとき

$$ |\vec{d_1}|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 2^2 = 6 $$

$$ |\vec{d_2}|^2 = 3^2 + 1^2 + 1^2 = 11 $$

$$ \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 4 $$

となる。平面 $\alpha$ は2直線 $l, m$ によって定まるため、平面 $\alpha$ 上にある直線の方向ベクトル $\vec{u}$ は、実数 $s, t$ を用いて

$$ \vec{u} = s\vec{d_1} + t\vec{d_2} $$

と表すことができる。

(1)

求める直線は直線 $l$ と直交するため、$\vec{u} \cdot \vec{d_1} = 0$ が成り立つ。

$$ \vec{u} \cdot \vec{d_1} = (s\vec{d_1} + t\vec{d_2}) \cdot \vec{d_1} = s|\vec{d_1}|^2 + t(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}) = 6s + 4t $$

よって

$$ 6s + 4t = 0 \iff 3s + 2t = 0 $$

上式を満たす $(s, t)$ の一組として、$s = 2, t = -3$ とすると

$$ \vec{u} = 2(1, -1, 2) - 3(3, 1, 1) = (2-9, -2-3, 4-3) = (-7, -5, 1) $$

求める直線は原点を通るため、その方程式は

$$ \frac{x}{-7} = \frac{y}{-5} = z $$

となる。

(2)

求める直線の方向ベクトルを $\vec{v} = s\vec{d_1} + t\vec{d_2}$ とおく。直線 $l$ とのなす角が $\frac{\pi}{4}$ であるから、内積の定義より

$$ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{d_1}|}{|\vec{v}||\vec{d_1}|} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

分母を払い、両辺を2乗すると

$$ 2(\vec{v} \cdot \vec{d_1})^2 = |\vec{v}|^2|\vec{d_1}|^2 $$

ここで

$$ \vec{v} \cdot \vec{d_1} = s|\vec{d_1}|^2 + t(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}) = 6s + 4t $$

$$ |\vec{v}|^2 = s^2|\vec{d_1}|^2 + 2st(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}) + t^2|\vec{d_2}|^2 = 6s^2 + 8st + 11t^2 $$

であるから、代入して整理する。

$$ 2(6s + 4t)^2 = 6(6s^2 + 8st + 11t^2) $$

$$ (6s + 4t)^2 = 3(6s^2 + 8st + 11t^2) $$

$$ 36s^2 + 48st + 16t^2 = 18s^2 + 24st + 33t^2 $$

$$ 18s^2 + 24st - 17t^2 = 0 $$

ここで $t = 0$ とすると $s = 0$ となり、$\vec{v} = \vec{0}$ となって不適である。方向ベクトルは実数倍の自由度があるため、$t = 6$ と固定して $s$ を求める。

$$ 18s^2 + 144s - 17 \cdot 36 = 0 $$

両辺を18で割ると

$$ s^2 + 8s - 34 = 0 $$

これを解いて

$$ s = -4 \pm \sqrt{16 - (-34)} = -4 \pm \sqrt{50} = -4 \pm 5\sqrt{2} $$

したがって、求める方向ベクトル $\vec{v}$ は以下の2つである。

$$ \begin{aligned} \vec{v} &= (-4 \pm 5\sqrt{2})(1, -1, 2) + 6(3, 1, 1) \\ &= (-4 \pm 5\sqrt{2} + 18, 4 \mp 5\sqrt{2} + 6, -8 \pm 10\sqrt{2} + 6) \\ &= (14 \pm 5\sqrt{2}, 10 \mp 5\sqrt{2}, -2 \pm 10\sqrt{2}) \quad (\text{複号同順}) \end{aligned} $$

求める直線は原点を通るため、その方程式は

$$ \frac{x}{14 \pm 5\sqrt{2}} = \frac{y}{10 \mp 5\sqrt{2}} = \frac{z}{-2 \pm 10\sqrt{2}} \quad (\text{複号同順}) $$

となる。

解説

空間における平面上の直線の方程式を求める問題である。平面上のベクトルは、その平面を張る2つの一次独立なベクトルの一次結合として表すことができる。この性質を利用し、問題で与えられた2直線の方向ベクトルを用いて未知の方向ベクトルを設定するアプローチが最も自然で簡明である。後半は直線のなす角に関する条件を内積の方程式に帰着させる。2次同次式の処理において、文字の片方に都合の良い値を代入して比を確定させる手法は、ベクトル問題で頻出の計算技術である。