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北海道大学 2010年文系第3問解説

方針・初手

群数列と部分分数分解を利用する標準的な問題である。まず、各群に含まれる項の規則性から、第 $k$ 群の最初の項および最後の項がもとの数列 $\{a_n\}$ の第何項にあたるかを求める。続いて、和 $S_k$ の計算では、一般項 $a_n$ を部分分数分解して隣り合う項が打ち消し合う形を作る。最後の不等式は、二次関数の値の符号変化に着目して最小の自然数を求める。

解法1

(1)

第 $m$ 群には奇数個、すなわち $2m-1$ 個の項が含まれる。 $k \ge 2$ のとき、第1群から第 $k-1$ 群までの項数の総和は、

$$ \sum_{m=1}^{k-1} (2m-1) = 2 \cdot \frac{1}{2}(k-1)k - (k-1) = (k-1)^2 $$

となる。これは $k=1$ のときも $(1-1)^2 = 0$ となり成り立つ。したがって、第 $k$ 群の最初の項は、数列 $\{a_n\}$ の初めから数えて $(k-1)^2 + 1 = k^2 - 2k + 2$ 番目の項である。求める項は $a_{k^2 - 2k + 2}$ であり、

$$ a_{k^2 - 2k + 2} = \frac{1}{(k^2 - 2k + 2)(k^2 - 2k + 3)} $$

(2)

第 $k$ 群の最後の項は、第1群から第 $k$ 群までの項数の総和番目の項であるから、初めから数えて

$$ \sum_{m=1}^{k} (2m-1) = k^2 $$

番目の項である。数列 $\{a_n\}$ の一般項は部分分数分解により、

$$ a_n = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $$

と変形できる。第 $k$ 群に含まれるすべての項の和 $S_k$ は、第 $k^2 - 2k + 2$ 項から第 $k^2$ 項までの和であるから、

$$ \begin{aligned} S_k &= \sum_{n=k^2-2k+2}^{k^2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ &= \left( \frac{1}{k^2-2k+2} - \frac{1}{k^2-2k+3} \right) + \left( \frac{1}{k^2-2k+3} - \frac{1}{k^2-2k+4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{k^2} - \frac{1}{k^2+1} \right) \\ &= \frac{1}{k^2-2k+2} - \frac{1}{k^2+1} \\ &= \frac{(k^2+1) - (k^2-2k+2)}{(k^2-2k+2)(k^2+1)} \\ &= \frac{2k-1}{(k^2-2k+2)(k^2+1)} \end{aligned} $$

(3)

(2) の結果を与えられた不等式に代入すると、

$$ (k^2+1) \cdot \frac{2k-1}{(k^2-2k+2)(k^2+1)} \le \frac{1}{100} $$

$k$ は自然数であるから $k^2+1 > 0$ であり、約分して整理すると、

$$ \frac{2k-1}{k^2-2k+2} \le \frac{1}{100} $$

ここで $k^2-2k+2 = (k-1)^2+1 > 0$ であるため、両辺に $100(k^2-2k+2)$ を掛けても不等号の向きは変わらない。

$$ 100(2k-1) \le k^2-2k+2 $$

$$ k^2 - 202k + 102 \ge 0 $$

この不等式を満たす最小の自然数 $k$ を求める。 $f(k) = k^2 - 202k + 102$ とおき、$f(k) = k(k-202) + 102$ と変形して $k$ に近い自然数を代入する。 $k = 201$ のとき、

$$ f(201) = 201 \cdot (201 - 202) + 102 = -201 + 102 = -99 < 0 $$

$k = 202$ のとき、

$$ f(202) = 202 \cdot (202 - 202) + 102 = 102 > 0 $$

関数 $f(k)$ は放物線であり、軸は $k=101$ であるから、$k \ge 101$ の範囲で単調増加する。したがって、$f(k) \ge 0$ を満たす最小の自然数は $202$ である。

解説

群数列の標準的な問題である。各群に含まれる項数が $1, 3, 5, \dots$ と奇数になっているため、第 $m$ 群の項数は $2m-1$ 個となる。群数列の問題では、第 $k$ 群の初項や末項がもとの数列で第何項にあたるかを正確に把握することが重要である。また、和の計算においては $a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ の部分分数分解を利用する定石を用いる。(3) では二次方程式の解を直接求めて平方根の近似計算をするよりも、関数の値の符号変化から整数解を絞り込む方が計算ミスが少なく簡潔である。