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北海道大学 2010年文系第4問解説

方針・初手

直角三角形における鋭角 $\theta$ を用いた辺の長さの表現と、面積比の計算が問われている。 (1) は、直角三角形の相似関係や三角比の定義を繰り返し用いることで、各線分の長さを順次 $\theta$ で表していくのが定石である。 (2) は、三角形の面積を求めるために、必要な線分の長さや比を求める。幾何的にメネラウスの定理を用いて線分比を導く方針と、直角であることを活かして座標平面を設定し、直線の方程式から交点の座標を直接計算する方針が考えられる。

解法1

(1)

直角三角形 $ABC$ において、$\angle C = \frac{\pi}{2}$、$AB = 1$、$\angle B = \theta$ であるから、

$$ AC = AB \sin\theta = \sin\theta $$

$$ BC = AB \cos\theta = \cos\theta $$

となる。また、$CD \perp AB$ であるから、$\triangle ABC \sim \triangle CBD$ であり、$\angle BCD = \angle BAC = \frac{\pi}{2} - \theta$ となる。したがって、直角三角形 $BCD$ において、

$$ BD = BC \cos\theta = \cos^2\theta $$

$$ CD = BC \sin\theta = \cos\theta \sin\theta $$

と表せる。さらに、$DE \perp BC$ であるから、直角三角形 $BDE$ において $\angle B = \theta$ であり、

$$ DE = BD \sin\theta = \cos^2\theta \sin\theta $$

となる。ゆえに、求める比は

$$ \frac{DE}{AC} = \frac{\cos^2\theta \sin\theta}{\sin\theta} = \cos^2\theta $$

である。

(2)

(1) で求めたように、$CD = \cos\theta \sin\theta$ である。直角三角形 $CDE$ において、$\angle CDE = \angle B = \theta$ であるから、

$$ CE = CD \sin\theta = \cos\theta \sin^2\theta $$

となる。ここで、直角三角形 $ACE$ に着目する。$\angle ACE = \frac{\pi}{2}$ であるから、その面積 $S_{\triangle ACE}$ は

$$ S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot AC = \frac{1}{2} (\sin^2\theta \cos\theta) \sin\theta = \frac{1}{2} \sin^3\theta \cos\theta $$

である。次に、$\triangle ABE$ と直線 $CD$ に対してメネラウスの定理を適用すると、

$$ \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BC}{CE} \cdot \frac{EF}{FA} = 1 $$

が成り立つ。直角三角形 $ACD$ において $AD = AC \sin\theta = \sin^2\theta$ であるから、各辺の比は

$$ \frac{AD}{DB} = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} $$

$$ \frac{BC}{CE} = \frac{\cos\theta}{\sin^2\theta \cos\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta} $$

となる。これらを定理の式に代入して整理すると、

$$ \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \cdot \frac{1}{\sin^2\theta} \cdot \frac{EF}{FA} = 1 $$

$$ \frac{1}{\cos^2\theta} \cdot \frac{EF}{FA} = 1 $$

$$ \frac{EF}{FA} = \cos^2\theta $$

すなわち、$EF : FA = \cos^2\theta : 1$ となる。 $\triangle FEC$ と $\triangle ACE$ は、頂点 $C$ を共有し底辺が同一直線状にあるため、面積の比は底辺の長さの比に等しい。したがって、求める $\triangle FEC$ の面積 $S$ は

$$ S = \frac{EF}{EA} S_{\triangle ACE} = \frac{\cos^2\theta}{1 + \cos^2\theta} \cdot \frac{1}{2} \sin^3\theta \cos\theta = \frac{\sin^3\theta \cos^3\theta}{2(1 + \cos^2\theta)} $$

となる。

解法2

(2) について、座標を用いた別解

点 $C$ を原点 $(0,0)$ とし、直線 $CB$ を $x$軸、直線 $CA$ を $y$軸とする座標平面を設定する。 (1) より $BC = \cos\theta$、$AC = \sin\theta$ であるから、各頂点の座標は $C(0,0)$、$B(\cos\theta, 0)$、$A(0, \sin\theta)$ となる。直線 $AB$ の方程式は、

$$ \frac{x}{\cos\theta} + \frac{y}{\sin\theta} = 1 \iff x \sin\theta + y \cos\theta = \sin\theta \cos\theta $$

である。直線 $CD$ は原点を通り直線 $AB$ に垂直なので、その法線ベクトルから傾きは $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ であり、方程式は

$$ y = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} x \iff \cos\theta x - \sin\theta y = 0 $$

となる。点 $D$ はこれら2直線の交点である。$x = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}y$ を直線 $AB$ の方程式に代入すると、

$$ \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} y + y \cos\theta = \sin\theta \cos\theta $$

$$ y \left( \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\cos\theta} \right) = \sin\theta \cos\theta $$

$$ y = \sin\theta \cos^2\theta $$

となり、これに伴い $x = \sin^2\theta \cos\theta$ と求まる。ゆえに、$D(\sin^2\theta \cos\theta, \sin\theta \cos^2\theta)$ である。点 $D$ から $x$軸上の辺 $BC$ に下ろした垂線の足 $E$ の座標は、点 $D$ の $x$座標に等しく、$E(\sin^2\theta \cos\theta, 0)$ である。

次に、直線 $AE$ の方程式は、$y$切片が $\sin\theta$、$x$切片が $\sin^2\theta \cos\theta$ であることから、

$$ \frac{x}{\sin^2\theta \cos\theta} + \frac{y}{\sin\theta} = 1 \iff x + \sin\theta \cos\theta y = \sin^2\theta \cos\theta $$

となる。点 $F$ は直線 $AE$ と直線 $CD$ $\left(x = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} y\right)$ の交点であるから、これを直線 $AE$ の式に代入して、

$$ \frac{\sin\theta}{\cos\theta} y + \sin\theta \cos\theta y = \sin^2\theta \cos\theta $$

$$ y \cdot \frac{\sin\theta (1 + \cos^2\theta)}{\cos\theta} = \sin^2\theta \cos\theta $$

$$ y = \frac{\sin\theta \cos^2\theta}{1 + \cos^2\theta} $$

この $y$ 座標の値が、$\triangle FEC$ の底辺 $CE$ に対する高さとなる。底辺 $CE$ の長さは点 $E$ の $x$座標そのものであり、$CE = \sin^2\theta \cos\theta$ である。したがって、$\triangle FEC$ の面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot y = \frac{1}{2} (\sin^2\theta \cos\theta) \left( \frac{\sin\theta \cos^2\theta}{1 + \cos^2\theta} \right) = \frac{\sin^3\theta \cos^3\theta}{2(1 + \cos^2\theta)} $$

となる。

解説

(1) は直角三角形における三角比の定義と相似を繰り返し用いる基本問題である。図の中から等しい角度を見つけ出し、効率よく線分の長さを求めていく力が試される。

(2) は、メネラウスの定理を用いて線分比を求める図形的なアプローチ（解法1）が計算量も少なく簡潔である。一方で、直角があることに着目して座標軸を設定し、機械的な計算に持ち込むアプローチ（解法2）も、図形的性質に気づけない場合の確実な手法として極めて有効である。試験本番では、自分の閃きに応じて柔軟に解法を選択したい。