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北海道大学 2015年文系第4問解説

方針・初手

52枚のカードを1列に並べる確率を考える際、すべてのカードを区別して順列（並べ方）で計算する方法と、特定のカードが置かれる場所（枠）の選び方に注目する組み合わせで計算する方法の2通りがある。本問では、番号7のカード4枚の位置関係のみが問われているため、52個の場所から番号7のカードを置く4個の場所を選ぶ組み合わせで考えると、計算量を大幅に減らすことができる。

解法1

カードを並べるための場所が1列に52個あると考える。この52個の場所から、番号7のカード4枚を置くための4個の場所を選ぶ選び方は、 $$ {}_{52}\text{C}_{4} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 17 \cdot 25 \cdot 49 \text{ 通り} $$ であり、これらは同様に確からしい。

(1)

番号7のカードが4枚連続して並ぶのは、選んだ4個の場所が連続している場合である。 52個の場所の中で、4個連続する場所の選び方は、左端の位置が1番目から $52 - 4 + 1 = 49$ 番目までのいずれかになるため、49通りある。よって、求める確率は、 $$ \frac{49}{{}_{52}\text{C}_{4}} = \frac{49}{13 \cdot 17 \cdot 25 \cdot 49} = \frac{1}{13 \cdot 17 \cdot 25} = \frac{1}{5525} $$

(2)

番号7のカードが2枚ずつ隣り合い、かつ4枚連続しては並ばないように4個の場所を選ぶ方法を考える。番号7のカード以外の48枚のカードが置かれる場所を $\bigcirc$ とし、2枚連続して置かれる番号7のカードの場所のペアを $\times$ と表す。 48個の $\bigcirc$ を並べ、その間と両端を含めた49箇所の中から、2個の $\times$ を入れる場所を選ぶ。このように選べば、$\times$ と $\times$ の間には少なくとも1個の $\bigcirc$ が入るため、4枚が連続することはない。 49箇所から2個の $\times$ を入れる場所を選ぶ選び方は、 $$ {}_{49}\text{C}_{2} = \frac{49 \cdot 48}{2 \cdot 1} = 49 \cdot 24 \text{ 通り} $$ ある。よって、求める確率は、 $$ \frac{{}_{49}\text{C}_{2}}{{}_{52}\text{C}_{4}} = \frac{49 \cdot 24}{13 \cdot 17 \cdot 25 \cdot 49} = \frac{24}{13 \cdot 17 \cdot 25} = \frac{24}{5525} $$

解法2

すべてのカードを区別して順列で考える解法。 52枚のカードの並べ方は $52!$ 通りあり、これらは同様に確からしい。

(1)

番号7のカード4枚をまとめて1つの束とみなす。この束と残りの48枚のカードを合わせた49個のものの並べ方は $49!$ 通りある。そのそれぞれについて、束の中での番号7のカード4枚の並べ方が $4!$ 通りある。したがって、番号7のカードが4枚連続して並ぶ並べ方は $49! \times 4!$ 通りである。よって、求める確率は、 $$ \frac{49! \times 4!}{52!} = \frac{49! \times 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49!} = \frac{24}{52 \cdot 51 \cdot 50} = \frac{1}{5525} $$

(2)

まず、番号7以外の48枚のカードを1列に並べる。この並べ方は $48!$ 通りある。この48枚のカードの間と両端を含めた49箇所から2箇所を選び、それぞれに番号7のカードを2枚ずつ配置すると、条件を満たす並び方となる。 49箇所から2箇所を選ぶ方法は ${}_{49}\text{C}_{2}$ 通りある。選ばれた2箇所（合計4個の場所）に、4枚の番号7のカードを配置する並べ方は $4!$ 通りである。したがって、条件を満たす並べ方は $48! \times {}_{49}\text{C}_{2} \times 4!$ 通りである。よって、求める確率は、 $$ \frac{48! \times {}_{49}\text{C}_{2} \times 4!}{52!} = \frac{48! \times \frac{49 \cdot 48}{2} \times 24}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48!} = \frac{49 \cdot 24 \cdot 24}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} = \frac{24 \cdot 24}{52 \cdot 51 \cdot 50} = \frac{24}{5525} $$

解説

確率の基本である「すべての要素を区別する（順列）」アプローチと、「特定の要素が入る場所を選ぶ（組み合わせ）」アプローチの2つを示した。どちらを選択しても正答に至るが、本問のように特定のカードの位置関係だけが問われている場合は、場所の選び方に着目する組み合わせの考え方（解法1）を用いると、階乗の計算を避けることができ見通しが良い。

また、(2)の「隣り合わない」という条件の処理は、それ以外のものを先に並べて「隙間に入れる」という発想が定石である。ここではそれを応用し、「2枚のペア」というブロックを隙間に入れることで、4枚連続になる事態を簡潔に防いでいる。