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北海道大学 2016年理系第3問解説

譁ｹ驥昴・蛻晄焔

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(1)

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$$ 3^3 = 27 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

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$$ {}_3\mathrm{C}_{2} = 3 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

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$$ 8 - 2 = 6 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

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$$ 3 \times 6 = 18 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

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$$ \frac{18}{27} = \frac{2}{3} $$

(2)

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$$ 3^3 \times 2^2 = 108 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

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(i) 縺ゅｏ縺帙◆繝｡繝繝ｫ縺ｮ濶ｲ縺後碁≡縺ｨ驫縲阪・2遞ｮ鬘槭↓縺ｪ繧句ｴ蜷・

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$$ 8 \times 4 - 1 - 1 = 30 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

(ii) 縺ゅｏ縺帙◆繝｡繝繝ｫ縺ｮ濶ｲ縺後碁≡縺ｨ驫・阪・2遞ｮ鬘槭↓縺ｪ繧句ｴ蜷・

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$$ (8 - 1) \times 1 = 7 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

(iii) 縺ゅｏ縺帙◆繝｡繝繝ｫ縺ｮ濶ｲ縺後碁橿縺ｨ驫・阪・2遞ｮ鬘槭↓縺ｪ繧句ｴ蜷・

(ii) 縺ｨ蜷梧ｧ倥↓閠・∴繧九→縲。縺ｮ繝｡繝繝ｫ縺ｯ縺吶∋縺ｦ驫縺ｧ縺ｪ縺代ｌ縺ｰ縺ｪ繧峨↑縺・・ A縺ｮ繝｡繝繝ｫ縺ｯ驫縺矩喝縺ｮ縺ｿ縺ｧ讒区・縺輔ｌ縲√°縺､驫・ｒ蟆代↑縺上→繧・譫壼性繧蠢・ｦ√′縺ゅｋ縲・繧医▲縺ｦ縲√■繧・≧縺ｩ縲碁橿縺ｨ驫・阪・2遞ｮ鬘槭↓縺ｪ繧九・縺ｯ莉･荳九・騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・

$$ (2^3 - 1) \times 1 = 7 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

莉･荳翫ｈ繧翫√≠繧上○縺溘Γ繝繝ｫ縺ｮ濶ｲ縺後■繧・≧縺ｩ2遞ｮ鬘槭↓縺ｪ繧倶ｺ玖ｱ｡縺ｮ謨ｰ縺ｯ莉･荳九・騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・

$$ 30 + 7 + 7 = 44 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

豎ゅａ繧狗｢ｺ邇・・莉･荳九・繧医≧縺ｫ縺ｪ繧九・

$$ \frac{44}{108} = \frac{11}{27} $$

(3)

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莠玖ｱ｡ $X$ 縺瑚ｵｷ縺薙ｋ縺ｮ縺ｯ縲√・縺阪□縺輸, B縺ｮ驥代Γ繝繝ｫ縺ｮ譫壽焚縺ｮ邨・∩蜷医ｏ縺帙′縲∵ｬ｡縺ｮ3縺､縺ｮ繝代ち繝ｼ繝ｳ縺ｮ縺・★繧後°縺ｫ縺ｪ繧句ｴ蜷医〒縺ゅｋ縲・

(繧｢) A縺碁≡3譫壹。縺碁≡0譫夲ｼ磯橿2譫夲ｼ峨・蝣ｴ蜷・

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$$ 1 \times 1 = 1 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

(繧､) A縺碁≡2譫壹。縺碁≡1譫夲ｼ磯≡1譫壹・驫1譫夲ｼ峨・蝣ｴ蜷・

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$$ 6 \times 2 = 12 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

(繧ｦ) A縺碁≡1譫壹。縺碁≡2譫壹・蝣ｴ蜷・

A縺ｮ谿九ｊ2譫壹・濶ｲ縺ｯ驫縺矩喝縺ｮ縺ｿ縺九ｉ縺ｪ繧九ゅ←縺ｮ1譫壹′驥代↓縺ｪ繧九°縺ｮ驕ｸ縺ｳ譁ｹ繧貞性繧√ｋ縺ｨ縲、縺ｮ豎ｺ縺ｾ繧頑婿縺ｯ ${}_3\mathrm{C}_{1} \times 2^2 = 12$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・ B縺碁≡2譫壹↓縺ｪ繧九・縺ｯ1騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲ゅｈ縺｣縺ｦ莉･荳九・騾壹ｊ縺ｨ縺ｪ繧九・

$$ 12 \times 1 = 12 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

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$$ n(X) = 1 + 12 + 12 = 25 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

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(繧｢) 縺ｮ蝣ｴ蜷医、縺ｯ驥代・縺ｿ縺ｮ1遞ｮ鬘槭〒縺ゅｋ縺溘ａ縲∽ｺ玖ｱ｡ $Y$ 繧呈ｺ縺溘☆繧ゅ・縺ｯ縺ｪ縺・ｼ・騾壹ｊ・峨・

(繧､) 縺ｮ蝣ｴ蜷医、縺ｯ驥・譫壹→縲・橿縺ｾ縺溘・驫・′1譫壹〒縺ゅｋ縺九ｉ縲∝ｿ・★2遞ｮ鬘槭→縺ｪ繧九ゅｈ縺｣縺ｦ縲√％縺ｮ蝣ｴ蜷医・12騾壹ｊ縺ｯ縺吶∋縺ｦ莠玖ｱ｡ $Y$ 繧呈ｺ縺溘☆縲・

(繧ｦ) 縺ｮ蝣ｴ蜷医、縺ｯ驥・譫壹→縲∵ｮ九ｊ2譫壹′驫縺矩喝縺ｧ縺ゅｋ縲・縺・遞ｮ鬘槭↓縺ｪ繧九◆繧√↓縺ｯ縲∵ｮ九ｊ2譫壹・濶ｲ縺御ｸ閾ｴ・医→繧ゅ↓驫縲√∪縺溘・縺ｨ繧ゅ↓驫・ｼ峨＠縺ｦ縺・↑縺代ｌ縺ｰ縺ｪ繧峨↑縺・・谿九ｊ2譫壹′蜷後§濶ｲ縺ｫ縺ｪ繧九・縺ｯ2騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲、縺ｮ豎ｺ縺ｾ繧頑婿縺ｯ ${}_3\mathrm{C}_{1} \times 2 = 6$ 騾壹ｊ縺ｨ縺ｪ繧九・縺ｮ豎ｺ縺ｾ繧頑婿縺ｯ1騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縺溘ａ縲∽ｺ玖ｱ｡ $Y$ 繧呈ｺ縺溘☆縺ｮ縺ｯ莉･荳九・騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・

$$ 6 \times 1 = 6 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

縺薙ｌ繧峨・莠偵＞縺ｫ謗貞渚縺ｧ縺ゅｋ縺溘ａ縲∽ｺ玖ｱ｡ $X \cap Y$ 縺瑚ｵｷ縺薙ｋ蝣ｴ蜷医・謨ｰ $n(X \cap Y)$ 縺ｯ莉･荳九・繧医≧縺ｫ縺ｪ繧九・

$$ n(X \cap Y) = 0 + 12 + 6 = 18 \text{・磯壹ｊ・厭 $$

莉･荳翫ｈ繧翫∵ｱゅａ繧区擅莉ｶ莉倥″遒ｺ邇・$P_X(Y)$ 縺ｯ莉･荳九・騾壹ｊ縺ｨ縺ｪ繧九・

$$ P_X(Y) = \frac{n(X \cap Y)}{n(X)} = \frac{18}{25} $$

隗｣隱ｬ

蝣ｴ蜷医・謨ｰ繝ｻ遒ｺ邇・↓縺翫￠繧九悟酔讒倥↓遒ｺ縺九ｉ縺励＞縲堺ｺ玖ｱ｡縺ｮ縺ｨ繧頑婿繧呈ｭ｣縺励￥險ｭ螳壹☆繧句鴨縺悟撫繧上ｌ繧句撫鬘後〒縺ゅｋ縲ゅΓ繝繝ｫ縺悟玄蛻･縺ｧ縺阪ｋ縺九←縺・°縺ｫ縺九°繧上ｉ縺壹・譫壹★縺､迢ｬ遶九↓濶ｲ縺梧ｱｺ螳壹＆繧後ｋ縺ｨ閠・∴繧九・縺檎｢ｺ邇・ｨ育ｮ励・蝓ｺ譛ｬ縺ｧ縺ゅｋ縲・ (2) 縺ｯ縲・遞ｮ鬘槭阪→縺ｪ繧玖牡縺ｮ邨・∩蜷医ｏ縺帙〒蝣ｴ蜷亥・縺代＠縺ｦ謨ｰ縺井ｸ翫￡繧九％縺ｨ縺ｧ縲∬ｨ育ｮ励Α繧ｹ繧帝亟縺弱ｄ縺吶￥縺ｪ繧九・ (3) 縺ｮ譚｡莉ｶ莉倥″遒ｺ邇・・縲∝ｮ夂ｾｩ蠑・$P_X(Y) = \frac{n(X \cap Y)}{n(X)}$ 縺ｫ蝓ｺ縺･縺阪∵擅莉ｶ縺ｫ隧ｲ蠖薙☆繧倶ｺ玖ｱ｡縺ｮ謨ｰ繧呈ｭ｣遒ｺ縺ｫ謨ｰ縺井ｸ翫￡繧九％縺ｨ縺碁㍾隕√〒縺ゅｋ縲・