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北海道大学 2015年理系第4問解説

方針・初手

1回の試行によって、袋の中の赤玉と白玉の個数がどのように変化するかを正確に把握する。「同色を取り出す場合」と「色違いを取り出す場合」のそれぞれについて、赤玉の個数の増減を整理し、状態の推移を考える。

解法1

初めに袋の中には赤玉2個、白玉2個の計4個の玉が入っている。 1回の試行における袋の中の玉の個数の変化を考える。試行前に袋の中に赤玉 $r$ 個、白玉 $w$ 個が入っているとする。

(A) 取り出した2個が同色の場合

取り出した2個をそのまま袋に戻すため、この時点での袋の中身は元と変わらない。最後に白玉1個を追加するため、結果として赤玉の個数は変わらず、白玉の個数が1個増える。すなわち、赤玉は $r$ 個、白玉は $w+1$ 個となる。（赤玉の増減は $+0$）

(B) 取り出した2個が色違い（赤玉1個、白玉1個）の場合

問題文の「同色であればそのまま袋に戻し、色違いであれば赤玉2個を袋に入れる」という記述から、色違いの場合は取り出した2個の玉は袋に戻さず、代わりに赤玉2個を袋に入れると解釈できる。この時点で赤玉は $r-1+2 = r+1$ 個、白玉は $w-1$ 個となる。最後に白玉1個を追加するため、結果として赤玉は $r+1$ 個、白玉は $(w-1)+1 = w$ 個となる。（赤玉の増減は $+1$）

以上のことから、1回の試行ごとに袋の中の玉の総数は必ず1個ずつ増えていくことがわかる。

(1)

初期状態では赤玉2個、白玉2個である。 $X_1 = 3$ となるのは、1回目の試行で赤玉の個数が1個増える場合であるから、**(B)**の「色違いを取り出す場合」に該当する。この確率は、4個の玉から赤玉1個と白玉1個を取り出す確率であるから、

$$ \frac{{}_2\text{C}_1 \times {}_2\text{C}_1}{{}_4\text{C}_2} = \frac{2 \times 2}{6} = \frac{2}{3} $$

(2)

$X_2 = 3$ となるのは、以下の2つの場合である。

(i) 1回目に同色を取り出し（$X_1 = 2$）、2回目に色違いを取り出す場合

1回目の試行で同色を取り出す確率は、余事象を考えて $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ である。このとき、1回目の試行終了時点で袋の中は赤玉2個、白玉3個（計5個）となっている。 2回目の試行でここから色違いを取り出す確率は、

$$ \frac{{}_2\text{C}_1 \times {}_3\text{C}_1}{{}_5\text{C}_2} = \frac{2 \times 3}{10} = \frac{3}{5} $$

よって、この場合の確率は

$$ \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5} $$

(ii) 1回目に色違いを取り出し（$X_1 = 3$）、2回目に同色を取り出す場合

1回目の試行で色違いを取り出す確率は、(1)より $\frac{2}{3}$ である。このとき、1回目の試行終了時点で袋の中は赤玉3個、白玉2個（計5個）となっている。 2回目の試行でここから同色を取り出す確率は、赤玉2個または白玉2個を取り出す確率であるから、

$$ \frac{{}_3\text{C}_2 + {}_2\text{C}_2}{{}_5\text{C}_2} = \frac{3 + 1}{10} = \frac{2}{5} $$

よって、この場合の確率は

$$ \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{15} $$

(i)、**(ii)**は互いに排反であるから、求める確率は

$$ \frac{1}{5} + \frac{4}{15} = \frac{3}{15} + \frac{4}{15} = \frac{7}{15} $$

(3)

事象 $A$ を「$X_2 = 3$ となる」、事象 $B$ を「$X_1 = 3$ となる」とする。求める確率は、条件付き確率 $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ である。

(2)の計算結果より、$P(A) = \frac{7}{15}$ である。また、$A \cap B$ は「1回目に $X_1 = 3$ となり、かつ2回目に $X_2 = 3$ となる」事象であり、これは(2)の**(ii)**の場合に該当する。したがって、$P(A \cap B) = \frac{4}{15}$ である。

ゆえに、求める条件付き確率は

$$ P_A(B) = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{7}{15}} = \frac{4}{7} $$

解説

確率の基本である「状態の推移」を正確に読み解く問題である。問題文の「色違いであれば赤玉2個を袋に入れる」という指示について、「取り出した玉をどうするか」が明記されていないが、「そのまま袋に戻し」との対比から「戻さずに赤玉2個を入れる」と判断できるかがポイントである。万一「取り出した玉を戻して、さらに赤玉2個を入れる」と解釈してしまうと、1回目の試行で赤玉が2個増えて $X_1=4$ となり、(1)の「$X_1=3$となる確率」が $0$ になってしまうため、この解釈の誤りに気づくことができる。また、1回の試行を終えるごとに玉の総数が必ず1個増えるという構造に気づくと、計算時の分母の確認が容易になる。