トップ› 北海道大学› 2018年› 理系第3問

北海道大学 2018年理系第3問解説

譁ｹ驥昴・蛻晄焔

(1) 縺ｯ縲・0騾ｲ豕輔・蜷・ｽ阪・謨ｰ蟄励°繧峨↑繧句ｼ上ｒ螟牙ｽ｢縺励・9$ 縺ｮ蛟肴焚縺ｧ縺ゅｋ縺薙→繧堤､ｺ縺吝・蝙狗噪縺ｪ險ｼ譏主撫鬘後〒縺ゅｋ縲ょｼ上ｒ $9$ 縺ｮ蛟肴焚縺ｮ驛ｨ蛻・→蜷・ｽ阪・蜥後・驛ｨ蛻・↓蛻・￠繧九・

(2) 縺翫ｈ縺ｳ (3) 縺ｮ遒ｺ邇・・險育ｮ励↓縺翫＞縺ｦ縺ｯ縲√悟酔縺俶焚蟄励′譖ｸ縺九ｌ縺溘き繝ｼ繝峨〒縺ゅ▲縺ｦ繧ゅ√☆縺ｹ縺ｦ莠偵＞縺ｫ蛹ｺ蛻･縺励※閠・∴繧九阪％縺ｨ縺悟渕譛ｬ縺ｧ縺ゅｋ縲ょ・莠玖ｱ｡繧帝・・繧堤畑縺・※險育ｮ励＠縲・1) 縺ｧ遉ｺ縺励◆蜷悟､諤ｧ繧貞茜逕ｨ縺励※縲∝推譯√・謨ｰ蟄励・蜥後′ $9$ 縺ｮ蛟肴焚縺ｨ縺ｪ繧九き繝ｼ繝峨・邨・粋縺帙ｒ豢励＞蜃ｺ縺吶・

隗｣豕・

(1)

荳ｦ繧薙□謨ｰ蟄励ｒ蟾ｦ縺九ｉ鬆・↓ $a, b, c, d$ 縺ｨ縺吶ｋ縺ｨ縲・n = 1000a + 100b + 10c + d$ 縺ｨ陦ｨ縺輔ｌ繧九・

$$ \begin{aligned} 1000a + 100b + 10c + d &= (999a + a) + (99b + b) + (9c + c) + d \\ &= 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d) \\ &= 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d) \end{aligned} $$

$a, b, c$ 縺ｯ謨ｴ謨ｰ縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・111a + 11b + c$ 繧よ紛謨ｰ縺ｧ縺ゅｋ縲・縺励◆縺後▲縺ｦ縲・1000a + 100b + 10c + d$ 縺・$9$ 縺ｮ蛟肴焚縺ｫ縺ｪ繧九％縺ｨ縺ｨ縲・a + b + c + d$ 縺・$9$ 縺ｮ蛟肴焚縺ｫ縺ｪ繧九％縺ｨ縺ｯ蜷悟､縺ｧ縺ゅｋ縲・

(2)

蜷後§謨ｰ蟄励′譖ｸ縺九ｌ縺溘き繝ｼ繝峨〒縺ゅ▲縺ｦ繧ゅ√☆縺ｹ縺ｦ莠偵＞縺ｫ蛹ｺ蛻･縺励※閠・∴繧九・ $8$ 譫壹・繧ｫ繝ｼ繝峨°繧・$4$ 譫壹ｒ驕ｸ縺ｳ縲∵ｨｪ荳蛻励↓荳ｦ縺ｹ繧倶ｸｦ縺ｹ譁ｹ縺ｮ邱乗焚縺ｯ

$$ _{8}\mathrm{P}_4 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680 \text{ (騾壹ｊ)} $$

讓ｪ荳蛻励↓荳ｦ縺ｹ縺・$4$ 譫壹・繧ｫ繝ｼ繝峨↓譖ｸ縺九ｌ縺滓焚蟄励ｒ蟾ｦ縺九ｉ鬆・↓ $a, b, c, d$ 縺ｨ縺吶ｋ縺ｨ縲∬・辟ｶ謨ｰ $n$ 縺ｯ $n = 1000a + 100b + 10c + d$ 縺ｨ陦ｨ縺輔ｌ繧九・ (1) 繧医ｊ縲・n$ 縺・$9$ 縺ｮ蛟肴焚縺ｨ縺ｪ繧区擅莉ｶ縺ｯ縲・a+b+c+d$ 縺・$9$ 縺ｮ蛟肴焚縺ｨ縺ｪ繧九％縺ｨ縺ｧ縺ゅｋ縲・ $4$ 譫壹・繧ｫ繝ｼ繝峨↓譖ｸ縺九ｌ縺滓焚蟄励・蜥後・縺ｨ繧翫≧繧句､縺ｮ遽・峇縺ｯ縲∵怙蟆丞､縺・$0+0+1+1=2$縲∵怙螟ｧ蛟､縺・$8+8+2+2=20$ 縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ

$$ 2 \leqq a+b+c+d \leqq 20 $$

縺励◆縺後▲縺ｦ縲・a+b+c+d$ 縺・$9$ 縺ｮ蛟肴焚縺ｨ縺ｪ繧九・縺ｯ縲∝柱縺・$9$ 縺ｾ縺溘・ $18$ 縺ｮ縺・★繧後°縺ｮ蝣ｴ蜷医〒縺ゅｋ縲・

(i) 蜥後′ $18$ 縺ｮ蝣ｴ蜷・ $8$ 縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨・蠢・★ $2$ 譫壹→繧ょ性縺ｾ繧後ｋ縲よｮ九ｊ縺ｮ $2$ 譫壹・蜥後′ $2$ 縺ｨ縺ｪ繧九・縺ｧ縲∫ｵ・粋縺帙・ $\{8, 8, 2, 0\}$ 縺ｨ $\{8, 8, 1, 1\}$ 縺ｮ縺ｿ縺ｧ縺ゅｋ縲・

(ii) 蜥後′ $9$ 縺ｮ蝣ｴ蜷・ $8$ 繧貞性縺ｾ縺ｪ縺・ｴ蜷医∵ｮ九ｊ縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝・$\{2, 2, 1, 1, 0, 0\}$ 縺九ｉ $4$ 譫夐∈繧薙〒繧ょ柱縺ｯ譛螟ｧ $6$ 縺ｪ縺ｮ縺ｧ荳埼←縺ｧ縺ゅｋ縲・繧医▲縺ｦ $8$ 縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨・蠢・★蜷ｫ縺ｾ繧後ｋ縲よｮ九ｊ縺ｮ $3$ 譫壹・蜥後′ $1$ 縺ｨ縺ｪ繧九・縺ｧ縲∫ｵ・粋縺帙・ $\{8, 1, 0, 0\}$ 縺ｮ縺ｿ縺ｧ縺ゅｋ縲・

縺昴ｌ縺槭ｌ縺ｮ邨・粋縺帙↓縺､縺・※縲∵擅莉ｶ繧呈ｺ縺溘☆荳ｦ縺ｹ譁ｹ縺ｮ謨ｰ繧呈ｱゅａ繧九・

繝ｻ$\{8, 8, 2, 0\}$ 縺ｨ縺ｪ繧句ｴ蜷・ $8$ 縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨ｒ $2$ 譫壹・2$ 縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨ｒ $1$ 譫壹・0$ 縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨ｒ $1$ 譫夐∈縺ｶ縲・繧ｫ繝ｼ繝峨・驕ｸ縺ｳ譁ｹ縺ｯ ${}_{2}\mathrm{C}_{2} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} = 4$ 騾壹ｊ縲・驕ｸ繧薙□ $4$ 譫壹・荳ｦ縺ｹ譁ｹ縺ｯ $4! = 24$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ

$$ 4 \times 24 = 96 \text{ (騾壹ｊ)} $$

繝ｻ$\{8, 8, 1, 1\}$ 縺ｨ縺ｪ繧句ｴ蜷・ $8$ 縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨ｒ $2$ 譫壹・1$ 縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨ｒ $2$ 譫夐∈縺ｶ縲・繧ｫ繝ｼ繝峨・驕ｸ縺ｳ譁ｹ縺ｯ ${}_{2}\mathrm{C}_{2} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2} = 1$ 騾壹ｊ縲・驕ｸ繧薙□ $4$ 譫壹・荳ｦ縺ｹ譁ｹ縺ｯ $4! = 24$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ

$$ 1 \times 24 = 24 \text{ (騾壹ｊ)} $$

繝ｻ$\{8, 1, 0, 0\}$ 縺ｨ縺ｪ繧句ｴ蜷・ $8$ 縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨ｒ $1$ 譫壹・1$ 縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨ｒ $1$ 譫壹・0$ 縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨ｒ $2$ 譫夐∈縺ｶ縲・繧ｫ繝ｼ繝峨・驕ｸ縺ｳ譁ｹ縺ｯ ${}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{1} \times {}_{2}\mathrm{C}_{2} = 4$ 騾壹ｊ縲・驕ｸ繧薙□ $4$ 譫壹・荳ｦ縺ｹ譁ｹ縺ｯ $4! = 24$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ

$$ 4 \times 24 = 96 \text{ (騾壹ｊ)} $$

莉･荳翫ｈ繧翫・n$ 縺・$9$ 縺ｮ蛟肴焚縺ｨ縺ｪ繧倶ｺ玖ｱ｡縺ｮ謨ｰ縺ｯ

$$ 96 + 24 + 96 = 216 \text{ (騾壹ｊ)} $$

繧医▲縺ｦ縲∵ｱゅａ繧狗｢ｺ邇・・

$$ \frac{216}{1680} = \frac{9}{70} $$

(3)

莠玖ｱ｡ $A$ 繧偵・n$ 縺悟・謨ｰ縺ｧ縺ゅｋ縲阪∽ｺ玖ｱ｡ $B$ 繧偵・n$ 縺・$9$ 縺ｮ蛟肴焚縺ｧ縺ゅｋ縲阪→縺吶ｋ縲・豎ゅａ繧狗｢ｺ邇・・譚｡莉ｶ莉倥″遒ｺ邇・$P_A(B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・

縺ｾ縺壹∽ｺ玖ｱ｡ $A$ 縺瑚ｵｷ縺薙ｋ蝣ｴ蜷医・謨ｰ $n(A)$ 繧呈ｱゅａ繧九・ $n$ 縺悟・謨ｰ縺ｫ縺ｪ繧九・縺ｯ縲∽ｸ逡ｪ蜿ｳ縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝会ｼ井ｸ縺ｮ菴搾ｼ峨′ $0, 2, 8$ 縺ｮ縺・★繧後°縺ｮ蝣ｴ蜷医〒縺ゅｋ縲・ $0, 2, 8$ 縺梧嶌縺九ｌ縺溘き繝ｼ繝峨・蜈ｨ驛ｨ縺ｧ $6$ 譫壹≠繧九・荳逡ｪ蜿ｳ縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨・驕ｸ縺ｳ譁ｹ縺ｯ $6$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｊ縲∵ｮ九ｊ $3$ 譯√・荳ｦ縺ｹ譁ｹ縺ｯ谿九ｊ縺ｮ $7$ 譫壹°繧・$3$ 譫夐∈繧薙〒荳ｦ縺ｹ繧九・縺ｧ

$$ n(A) = 6 \times _{7}\mathrm{P}_3 = 6 \times 210 = 1260 \text{ (騾壹ｊ)} $$

谺｡縺ｫ縲∽ｺ玖ｱ｡ $A \cap B$ 縺瑚ｵｷ縺薙ｋ蝣ｴ蜷医・謨ｰ $n(A \cap B)$ 繧呈ｱゅａ繧九・縺薙ｌ縺ｯ (2) 縺ｮ蜷・ｵ・粋縺帙↓縺翫＞縺ｦ縲√＆繧峨↓荳逡ｪ蜿ｳ縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨′蛛ｶ謨ｰ縺ｨ縺ｪ繧句ｴ蜷医〒縺ゅｋ縲・

繝ｻ$\{8, 8, 2, 0\}$ 縺ｮ蝣ｴ蜷・驕ｸ縺ｰ繧後◆ $4$ 譫壹・繧ｫ繝ｼ繝峨・縺吶∋縺ｦ蛛ｶ謨ｰ縺ｧ縺ゅｋ縺溘ａ縲√←縺ｮ繧医≧縺ｫ荳ｦ縺ｹ縺ｦ繧・$n$ 縺ｯ蛛ｶ謨ｰ縺ｨ縺ｪ繧九・繧医▲縺ｦ縲√◎縺ｮ蝣ｴ蜷医・謨ｰ縺ｯ

$$ 96 \text{ (騾壹ｊ)} $$

繝ｻ$\{8, 8, 1, 1\}$ 縺ｮ蝣ｴ蜷・驕ｸ縺ｰ繧後◆ $4$ 譫壹・繧ｫ繝ｼ繝峨・縺・■縲∝・謨ｰ縺ｯ $8$ 縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝・$2$ 譫壹・縺ｿ縺ｧ縺ゅｋ縲・荳逡ｪ蜿ｳ縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨′ $8$ 縺ｮ縺・★繧後°縺ｨ縺ｪ繧倶ｸｦ縺ｹ譁ｹ縺ｯ縲∽ｸ逡ｪ蜿ｳ縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨・驕ｸ縺ｳ譁ｹ縺・$2$ 騾壹ｊ縲∵ｮ九ｊ縺ｮ $3$ 譯√・荳ｦ縺ｹ譁ｹ縺・$3!$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲ゅき繝ｼ繝峨・驕ｸ縺ｳ譁ｹ縺ｯ $1$ 騾壹ｊ縺縺｣縺溘・縺ｧ

$$ 1 \times 2 \times 3! = 12 \text{ (騾壹ｊ)} $$

繝ｻ$\{8, 1, 0, 0\}$ 縺ｮ蝣ｴ蜷・驕ｸ縺ｰ繧後◆ $4$ 譫壹・繧ｫ繝ｼ繝峨・縺・■縲∝・謨ｰ縺ｯ $8$ 縺・$1$ 譫壹・0$ 縺・$2$ 譫壹・險・$3$ 譫壹〒縺ゅｋ縲・荳逡ｪ蜿ｳ縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨′蛛ｶ謨ｰ縺ｮ縺・★繧後°縺ｨ縺ｪ繧倶ｸｦ縺ｹ譁ｹ縺ｯ縲∽ｸ逡ｪ蜿ｳ縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨・驕ｸ縺ｳ譁ｹ縺・$3$ 騾壹ｊ縲∵ｮ九ｊ縺ｮ $3$ 譯√・荳ｦ縺ｹ譁ｹ縺・$3!$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲ゅき繝ｼ繝峨・驕ｸ縺ｳ譁ｹ縺ｯ $4$ 騾壹ｊ縺縺｣縺溘・縺ｧ

$$ 4 \times (3 \times 3!) = 72 \text{ (騾壹ｊ)} $$

莉･荳翫ｈ繧翫・n(A \cap B)$ 縺ｯ

$$ n(A \cap B) = 96 + 12 + 72 = 180 \text{ (騾壹ｊ)} $$

縺励◆縺後▲縺ｦ縲∵ｱゅａ繧区擅莉ｶ莉倥″遒ｺ邇・・

$$ P_A(B) = \frac{180}{1260} = \frac{1}{7} $$

隗｣隱ｬ

縲悟肴焚縺ｮ蛻､螳壽ｳ輔阪・閭梧勹縺ｫ縺ゅｋ蜴溽炊繧定ｨｼ譏弱＆縺帙ｋ (1) 縺ｮ繧医≧縺ｪ蝠上＞縺ｯ縲∝嵜蜈ｬ遶句､ｧ蟄ｦ縺ｧ鬆ｻ蜃ｺ縺ｧ縺ゅｋ縲・
遒ｺ邇・・險育ｮ励↓縺翫＞縺ｦ縺ｯ縲√悟酔縺俶焚蟄励′譖ｸ縺九ｌ縺溘き繝ｼ繝峨ｂ縺吶∋縺ｦ蛹ｺ蛻･縺励※閠・∴繧九阪％縺ｨ縺悟ｮ夂浹縺ｧ縺ゅｋ縲よ悽隗｣豕輔〒縺ｯ縲√き繝ｼ繝峨↓蛹ｺ蛻･繧偵▽縺代ｋ縺薙→縺ｧ蜈ｨ莠玖ｱ｡繧貞腰邏斐↑鬆・・縺ｮ謨ｰ縺ｫ縺励∬ｫ也炊逧・↑貍上ｌ繧帝亟縺・〒縺・ｋ縲・
譚｡莉ｶ莉倥″遒ｺ邇・・蝠城｡後〒縺ｯ縲∝・豈阪↓縲悟・莠玖ｱ｡縺ｫ蟇ｾ縺吶ｋ遒ｺ邇・阪ｒ鄂ｮ縺九↑縺上→繧ゅ∵擅莉ｶ縺ｨ縺ｪ繧倶ｺ玖ｱ｡縺ｮ謨ｰ縺昴・繧ゅ・縺ｧ險育ｮ励〒縺阪ｋ縺薙→繧呈э隴倥☆繧九→縲∬ｨ育ｮ励・謇矩俣縺檎怐縺代ｋ縲・