大阪大学 2022年 文系 第2問 解説

方針・初手

求める確率が「素数でない確率」であるため、余事象である「素数になる確率」を考えるのが基本方針となる。さいころの目で素数となるのは $2, 3, 5$ のみであることに着目し、$L_n$ や $G_n$ がこれらの値になる条件を各素数ごとに分けて数え上げる。

解法1

(1) $L_2=5$ となるのは、$X_1, X_2$ の最小公倍数が $5$ となる場合である。さいころの目は $1$ から $6$ であり、この条件を満たす組 $(X_1, X_2)$ は、$(1, 5), (5, 1), (5, 5)$ の $3$ 通りである。

したがって、求める確率は

$$ \frac{3}{6^2} = \frac{1}{12} $$

である。

$G_2=5$ となるのは、$X_1, X_2$ の最大公約数が $5$ となる場合である。さいころの目のうち $5$ の倍数は $5$ のみであるから、これを満たすのは $(X_1, X_2) = (5, 5)$ の $1$ 通りのみである。

したがって、求める確率は

$$ \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} $$

である。

(2) $L_n$ が素数でない確率を求めるため、余事象である「$L_n$ が素数である確率」を考える。

$L_n$ が素数 $p$ となるためには、すべての $X_i$ が $1$ または $p$ であり、かつ、少なくとも1つの $X_i$ が $p$ でなければならない。また、さいころの目で素数となるのは $p = 2, 3, 5$ のみである。なお、$X_i$ に $4$ が含まれると $L_n$ は $4$ の倍数となり素数ではなくなるため、$p=2$ のとき $X_i$ は $1$ か $2$ のみとなる。

各 $p \in \{2, 3, 5\}$ について、上記の条件を満たす組 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ の総数は、それぞれ $1, p$ の2種類の目から重複を許して $n$ 回選び、すべてが $1$ となる場合を除くので、

$$ 2^n - 1 $$

通りである。

$L_n = 2, 3, 5$ となる事象は互いに排反であるから、$L_n$ が素数となる組の総数は

$$ 3(2^n - 1) $$

通りである。

したがって、$L_n$ が素数でない確率は

$$ 1 - \frac{3(2^n - 1)}{6^n} $$

である。

(3) $G_n$ が素数でない確率を求めるため、同様に余事象である「$G_n$ が素数である確率」を考える。

$G_n$ が素数 $p$ となるとき、$p \in \{2, 3, 5\}$ である。それぞれの場合について、条件を満たす組 $(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ の総数を求める。

(i)

$G_n = 5$ のとき

すべての $X_i$ は $5$ の倍数である必要がある。さいころの目で $5$ の倍数は $5$ のみであるから、条件を満たすのはすべての $X_i$ が $5$ のときの $1$ 通りのみである。

(ii)

$G_n = 3$ のとき

すべての $X_i$ は $3$ の倍数、すなわち $3$ または $6$ である必要がある。これらの目の出方は $2^n$ 通りあるが、そのうち最大公約数が $3$ とならないのは、すべての $X_i$ が $6$ となる $1$ 通りの場合のみである。

したがって、条件を満たす組は

$$ 2^n - 1 $$

通りである。

(iii)

$G_n = 2$ のとき

すべての $X_i$ は $2$ の倍数、すなわち $2, 4, 6$ のいずれかである。この組み合わせは $3^n$ 通りあるが、このうち最大公約数が $2$ とならない場合を除く必要がある。

$X_i \in \{2, 4, 6\}$ のとき、$G_n$ の候補は公約数であるから $2, 4, 6$ となる。したがって、$G_n \neq 2$ となるのは $G_n = 4$ または $G_n = 6$ のときである。

$G_n = 4$ となるのはすべての $X_i$ が $4$ のときの $1$ 通りであり、$G_n = 6$ となるのはすべての $X_i$ が $6$ のときの $1$ 通りである。これらは排反である。

したがって、条件を満たす組は

$$ 3^n - 2 $$

通りである。

（i）、（ii）、（iii） の事象は互いに排反であるから、$G_n$ が素数となる組の総数は

$$ 1 + (2^n - 1) + (3^n - 2) = 3^n + 2^n - 2 $$

通りである。

したがって、$G_n$ が素数でない確率は

$$ 1 - \frac{3^n + 2^n - 2}{6^n} $$

である。

解説

確率において「〜でない」事象を問う問題の典型として、余事象を利用する解法が非常に有効である。さいころの目に含まれる素数は $2, 3, 5$ に限られるため、(2) と (3) のどちらも、素数になる具体的な場合を列挙して数え上げることで見通しよく解くことができる。

特に (3) において、$G_n = 2$ となる場合を数える際、すべての $X_i$ が偶数である $3^n$ 通りから「最大公約数が $4$ になる場合」と「最大公約数が $6$ になる場合」を正しく除外できるかがポイントとなる。

答え

(1)

$L_2 = 5$ となる確率は $\frac{1}{12}$、$G_2 = 5$ となる確率は $\frac{1}{36}$

(2)

$1 - \frac{3(2^n - 1)}{6^n}$

(3)

$1 - \frac{3^n + 2^n - 2}{6^n}$