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北海道大学 1967年理系第3問解説

方針・初手

公比を極形式で表すことがすべての基本となる。複素数の累乗を計算するためにド・モアブルの定理を用いる。実数条件は虚部が $0$ になることと同値であるため、偏角に注目して実数となる項を特定する。

解法1

公比を $r$ とおく。

$$ r = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2}i) = \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3} + i) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right) $$

これを極形式で表すと、

$$ r = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) $$

となる。

(1)

$z_4$ は初項 $z_1 = 48$ に公比 $r$ を $3$ 回掛けたものであるから、ド・モアブルの定理より

$$ \begin{aligned} z_4 &= 48 r^3 \\ &= 48 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 \left( \cos \frac{3\pi}{6} + i \sin \frac{3\pi}{6} \right) \\ &= 48 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) \\ &= 12\sqrt{2} i \end{aligned} $$

(2)

数列 $\{z_n\}$ の第 $n$ 項は、

$$ \begin{aligned} z_n &= 48 r^{n-1} \\ &= 48 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-1} \left( \cos \frac{(n-1)\pi}{6} + i \sin \frac{(n-1)\pi}{6} \right) \end{aligned} $$

$z_n$ が実数となる条件は、虚部が $0$ になること、すなわち

$$ \sin \frac{(n-1)\pi}{6} = 0 $$

となることである。これを満たすのは、$\frac{(n-1)\pi}{6} = k\pi$ （$k$ は $0$ 以上の整数）のときである。

よって、$n - 1 = 6k$ より $n = 6k + 1$ となる。これを初めから順に並べたものが数列 $\{a_m\}$ であるため、$m$ 番目の実数項 $a_m$ は $k = m - 1$ に対応する。 $a_3$ は $k = 2$、すなわち $n = 13$ のときの項であるから、

$$ \begin{aligned} a_3 &= z_{13} \\ &= 48 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{12} \left( \cos \frac{12\pi}{6} + i \sin \frac{12\pi}{6} \right) \\ &= 48 \cdot \frac{1}{64} \cos 2\pi \\ &= \frac{48}{64} \cdot 1 \\ &= \frac{3}{4} \end{aligned} $$

(3)

実数となる項を抜き出してできる数列 $\{a_m\}$ は、初項 $a_1 = z_1 = 48$ であり、隣り合う項は元の数列の $6$ 項分進むため、公比 $R$ は $r^6$ の等比数列となる。

$$ \begin{aligned} R &= r^6 \\ &= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^6 \left( \cos \frac{6\pi}{6} + i \sin \frac{6\pi}{6} \right) \\ &= \frac{1}{8} (\cos \pi + i \sin \pi) \\ &= -\frac{1}{8} \end{aligned} $$

公比 $R = -\frac{1}{8}$ は $|R| < 1$ を満たすため、この無限等比級数は収束する。その和を $S$ とすると、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{a_1}{1 - R} \\ &= \frac{48}{1 - \left(-\frac{1}{8}\right)} \\ &= \frac{48}{\frac{9}{8}} \\ &= 48 \cdot \frac{8}{9} \\ &= \frac{128}{3} \end{aligned} $$

解説

複素数平面における等比数列の典型的な問題である。公比が $\frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2}i)$ と与えられたとき、実部と虚部から $\sqrt{2}$ をくくり出し、偏角が $\frac{\pi}{6}$ であることに気づけるかが鍵となる。極形式に直すことで、累乗の計算がド・モアブルの定理によって極めて簡略化される。数列の項が実数になる条件は「偏角が $\pi$ の整数倍」と言い換えられ、数列 $\{a_n\}$ が新たな等比数列になることを見抜けば、無限等比級数の和の公式に帰着できる。