九州大学 1968年 理系 第4問 解説

方針・初手

与えられた2つの公式を組み合わせるために、$C_n + i S_n$ という複素数の和を考える。ド・モアブルの定理を用いてこの和を、複素数 $z$ を用いた等比数列の和の形に書き直し、もう一つの公式である等比数列の和の公式を適用する。その後、実部と虚部を比較することで $C_n$ と $S_n$ をそれぞれ求める。

解法1

(1)

$C_n + i S_n$ を計算する。

$$C_n + i S_n = (1 + r\cos\theta + \cdots + r^n\cos n\theta) + i(r\sin\theta + r^2\sin 2\theta + \cdots + r^n\sin n\theta)$$

項を整理して、

$$C_n + i S_n = 1 + r(\cos\theta + i\sin\theta) + r^2(\cos 2\theta + i\sin 2\theta) + \cdots + r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$$

ここで、与えられた公式 $(\cos\theta + i\sin\theta)^k = \cos k\theta + i\sin k\theta$ を用いると、

$$C_n + i S_n = 1 + r(\cos\theta + i\sin\theta) + r^2(\cos\theta + i\sin\theta)^2 + \cdots + r^n(\cos\theta + i\sin\theta)^n$$

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、

$$C_n + i S_n = 1 + z + z^2 + \cdots + z^n$$

$0 < r < 1$ であるから、$|z| = r \neq 1$ であり、$z \neq 1$ である。 したがって、与えられた公式 $1 + z + \cdots + z^n = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}$ を用いることができる。

$$C_n + i S_n = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}$$

この式の分母を実数化するために、分母・分子に $1 - \bar{z}$ を掛ける。ここで、$\bar{z} = r(\cos\theta - i\sin\theta)$ は $z$ の共役複素数である。

$$C_n + i S_n = \frac{(1 - z^{n+1})(1 - \bar{z})}{(1 - z)(1 - \bar{z})} = \frac{1 - \bar{z} - z^{n+1} + z^{n+1}\bar{z}}{1 - (z + \bar{z}) + |z|^2}$$

分母について計算する。 $z + \bar{z} = 2r\cos\theta$ $|z|^2 = r^2$ よって、分母は $1 - 2r\cos\theta + r^2$ となる。

次に分子の各項を計算する。

$$\begin{aligned} \bar{z} &= r(\cos\theta - i\sin\theta) \\ z^{n+1} &= r^{n+1}(\cos(n+1)\theta + i\sin(n+1)\theta) \\ z^{n+1}\bar{z} &= z^n \cdot z \cdot \bar{z} = z^n |z|^2 \\ &= r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) \cdot r^2 \\ &= r^{n+2}(\cos n\theta + i\sin n\theta) \end{aligned}$$

したがって、分子の実部と虚部は次のように分けられる。

$$\begin{aligned} \text{実部} &= 1 - r\cos\theta - r^{n+1}\cos(n+1)\theta + r^{n+2}\cos n\theta \\ \text{虚部} &= r\sin\theta - r^{n+1}\sin(n+1)\theta + r^{n+2}\sin n\theta \end{aligned}$$

両辺の実部と虚部を比較して、次を得る。

$$C_n = \frac{1 - r\cos\theta - r^{n+1}\cos(n+1)\theta + r^{n+2}\cos n\theta}{1 - 2r\cos\theta + r^2}$$

$$S_n = \frac{r\sin\theta - r^{n+1}\sin(n+1)\theta + r^{n+2}\sin n\theta}{1 - 2r\cos\theta + r^2}$$

(2)

$0 < r < 1$ であるから、$\lim_{n\to\infty} r^{n+1} = 0$ および $\lim_{n\to\infty} r^{n+2} = 0$ である。 また、任意の自然数 $n$ と実数 $\theta$ に対して、

$$|\cos(n+1)\theta| \leqq 1, \quad |\cos n\theta| \leqq 1, \quad |\sin(n+1)\theta| \leqq 1, \quad |\sin n\theta| \leqq 1$$

であるから、はさみうちの原理より、

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} r^{n+1}\cos(n+1)\theta &= 0 \\ \lim_{n\to\infty} r^{n+2}\cos n\theta &= 0 \\ \lim_{n\to\infty} r^{n+1}\sin(n+1)\theta &= 0 \\ \lim_{n\to\infty} r^{n+2}\sin n\theta &= 0 \end{aligned}$$

したがって、(1) で求めた $C_n, S_n$ の式において $n \to \infty$ の極限をとると、

$$\lim_{n\to\infty} C_n = \frac{1 - r\cos\theta}{1 - 2r\cos\theta + r^2}$$

$$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{r\sin\theta}{1 - 2r\cos\theta + r^2}$$

解説

三角関数の級数の和を求めるための典型的な問題である。実数のままでは計算が難しい $\cos$ や $\sin$ の級数でも、$C_n + i S_n$ のように複素数化してド・モアブルの定理を用いることで、等比数列の和として簡潔に計算できる。

(1) の計算で分子を展開する際、$z^{n+1}\bar{z}$ をそのまま三角関数で計算する代わりに、$z\bar{z} = |z|^2 = r^2$ を利用して $r^2 z^n$ と書き換えると計算の負担が減り、ミスを防ぐことができる。 また、(2) の極限計算においては、有界な関数 $\cos k\theta, \sin k\theta$ と $0$ に収束する数列の積が $0$ に収束するという性質を用いる。

答え

(1)

$$C_n = \frac{1 - r\cos\theta - r^{n+1}\cos(n+1)\theta + r^{n+2}\cos n\theta}{1 - 2r\cos\theta + r^2}$$

$$S_n = \frac{r\sin\theta - r^{n+1}\sin(n+1)\theta + r^{n+2}\sin n\theta}{1 - 2r\cos\theta + r^2}$$

(2)

$$\lim_{n\to\infty} C_n = \frac{1 - r\cos\theta}{1 - 2r\cos\theta + r^2}$$

$$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{r\sin\theta}{1 - 2r\cos\theta + r^2}$$