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東京工業大学 1999年理系第5問解説

方針・初手

点列の漸化式から、各点が表す複素数の一般項または極限値を求める問題である。ベクトルの回転と定数倍の条件は、複素数平面において複素数の積として表現できる。隣接する2点の差（階差数列）を考え、無限等比級数の和を計算することで極限点を求める。

解法1

(1)

点 $P_n$ が表す複素数を $w_n$ とする。条件より、$w_0 = 0$、$w_1 = 1+i$ である。 $n \geqq 2$ に対して、ベクトル $\overrightarrow{P_{n-2}P_{n-1}}$ を反時計回りに $\frac{\pi}{3}$ 回転し、長さを $\frac{2}{3}$ 倍したベクトルが $\overrightarrow{P_{n-1}P_n}$ となるから、

$$ w_n - w_{n-1} = \frac{2}{3} \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) (w_{n-1} - w_{n-2}) $$

が成り立つ。ここで $\alpha = \frac{2}{3} \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} i$ とおくと、数列 $\{w_n - w_{n-1}\}$ は初項 $w_1 - w_0 = 1+i$、公比 $\alpha$ の等比数列である。したがって、$n \geqq 1$ のとき、

$$ w_n - w_{n-1} = \alpha^{n-1} (1+i) $$

よって、$n \geqq 1$ のとき $w_n$ は次のように表される。

$$ w_n = w_0 + \sum_{k=1}^n (w_k - w_{k-1}) = \sum_{k=1}^n \alpha^{k-1} (1+i) = (1+i) \frac{1 - \alpha^n}{1 - \alpha} $$

ここで、$|\alpha| = \frac{2}{3} < 1$ であるから、$\lim_{n \to \infty} \alpha^n = 0$ となる。ゆえに、求める極限点 $P_\infty$ が表す複素数を $w_\infty$ とすると、

$$ \begin{aligned} w_\infty &= \lim_{n \to \infty} w_n \\ &= \frac{1+i}{1 - \alpha} \\ &= \frac{1+i}{1 - \left( \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} i \right)} \\ &= \frac{3(1+i)}{2 - \sqrt{3}i} \\ &= \frac{3(1+i)(2 + \sqrt{3}i)}{(2 - \sqrt{3}i)(2 + \sqrt{3}i)} \\ &= \frac{3 \{ (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3})i \}}{4 + 3} \\ &= \frac{3(2 - \sqrt{3})}{7} + \frac{3(2 + \sqrt{3})}{7} i \end{aligned} $$

(2)

点 $Q_n$ が表す複素数を $v_n$ とする。条件より、$v_0 = 0$、$v_1 = z$ である。 (1) と同様に、$n \geqq 2$ に対して、

$$ v_n - v_{n-1} = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) (v_{n-1} - v_{n-2}) $$

が成り立つ。ここで $\beta = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4} i$ とおく。数列 $\{v_n - v_{n-1}\}$ は初項 $v_1 - v_0 = z$、公比 $\beta$ の等比数列である。 $|\beta| = \frac{1}{2} < 1$ であるから、(1) と同様にして極限点 $Q_\infty$ が表す複素数 $v_\infty$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} v_\infty &= \frac{z}{1 - \beta} \\ &= \frac{z}{1 - \left( \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4} i \right)} \\ &= \frac{4z}{4 - \sqrt{3} - i} \end{aligned} $$

極限点 $Q_\infty$ と $P_\infty$ が一致するので、$v_\infty = w_\infty$ である。上の計算から得られた式と (1) の途中で得られた $w_\infty = \frac{3(1+i)}{2 - \sqrt{3}i}$ を等置する。

$$ \frac{4z}{4 - \sqrt{3} - i} = \frac{3(1+i)}{2 - \sqrt{3}i} $$

これを $z$ について解く。

$$ \begin{aligned} z &= \frac{3(1+i)(4 - \sqrt{3} - i)}{4(2 - \sqrt{3}i)} \\ &= \frac{3 \{ (4 - \sqrt{3}) - i + i(4 - \sqrt{3}) - i^2 \} }{4(2 - \sqrt{3}i)} \\ &= \frac{3 \{ (5 - \sqrt{3}) + (3 - \sqrt{3})i \} }{4(2 - \sqrt{3}i)} \\ &= \frac{3 \{ (5 - \sqrt{3}) + (3 - \sqrt{3})i \} (2 + \sqrt{3}i)}{4(2 - \sqrt{3}i)(2 + \sqrt{3}i)} \\ &= \frac{3}{4 \cdot 7} \{ (5 - \sqrt{3}) \cdot 2 - (3 - \sqrt{3})\sqrt{3} + i \left( (5 - \sqrt{3})\sqrt{3} + (3 - \sqrt{3}) \cdot 2 \right) \} \\ &= \frac{3}{28} \{ (10 - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 3) + i(5\sqrt{3} - 3 + 6 - 2\sqrt{3}) \} \\ &= \frac{3}{28} \{ (13 - 5\sqrt{3}) + (3 + 3\sqrt{3})i \} \\ &= \frac{3(13 - 5\sqrt{3})}{28} + \frac{9(1 + \sqrt{3})}{28} i \end{aligned} $$

解説

複素数平面における「点の回転と拡大・縮小」を扱う典型的な問題である。ベクトルの関係式 $\overrightarrow{A B} \to \overrightarrow{B C}$ を複素数の階差の式 $(z_C - z_B) = \gamma (z_B - z_A)$ に翻訳できるかが最大の鍵となる。そこから先は数学B（または数学C）の数列の知識を用い、公比の絶対値が $1$ より小さいことから無限等比級数の和の公式を利用して極限値を求める。(2) は (1) の結果を利用した逆算の形になるが、分数式や複素数の分母の実数化といった計算量が多いため、計算ミスをしないよう丁寧な展開が求められる。