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東京大学 1999年理系第2問解説

方針・初手

（1）では与えられた複素数の漸化式の両辺の絶対値を取り、三角不等式を用いて $|z_{n+1}|$ と $|z_n|$ の関係式を導く。その後、得られた不等式を満たす等比数列型の補助数列を用意し、数学的帰納法によって $|z_n|$ の範囲をより厳密に評価する。

（2）では（1）で得られた不等式から、数列 $\{|z_n|\}$ が単調増加であることを示す。これにより、$|z_n| \leqq r$ を満たす個数 $f(r)$ について、$|z_{f(r)}| \leqq r < |z_{f(r)+1}|$ という関係が成り立つことを利用して不等式を立て、はさみうちの原理に持ち込む。

解法1

(1)

与えられた漸化式 $z_{n+1} = (3+4i)z_n + 1$ の両辺の絶対値をとると、

$$ |z_{n+1}| = |(3+4i)z_n + 1| $$

となる。三角不等式 $|A+B| \leqq |A| + |B|$ および $|A+B| \geqq |A| - |B|$ を用いると、

$$ |(3+4i)z_n| - |1| \leqq |(3+4i)z_n + 1| \leqq |(3+4i)z_n| + |1| $$

が成り立つ。$|3+4i| = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ であるから、

$$ 5|z_n| - 1 \leqq |z_{n+1}| \leqq 5|z_n| + 1 \quad \cdots \text{①} $$

を得る。

ここで、数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ をそれぞれ $a_1=1, a_{n+1} = 5a_n + 1$ および $b_1=1, b_{n+1} = 5b_n - 1$ によって定める。数列 $\{a_n\}$ について、特性方程式を用いて変形すると

$$ a_{n+1} + \frac{1}{4} = 5\left(a_n + \frac{1}{4}\right) $$

となるので、数列 $\{a_n + \frac{1}{4}\}$ は初項 $a_1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$、公比 $5$ の等比数列である。よって

$$ a_n = \frac{5}{4} \cdot 5^{n-1} - \frac{1}{4} = \frac{5^n-1}{4} $$

同様に、数列 $\{b_n\}$ についても

$$ b_{n+1} - \frac{1}{4} = 5\left(b_n - \frac{1}{4}\right) $$

となるので、数列 $\{b_n - \frac{1}{4}\}$ は初項 $b_1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$、公比 $5$ の等比数列である。よって

$$ b_n = \frac{3}{4} \cdot 5^{n-1} + \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 5^{n-1}+1}{4} $$

すべての自然数 $n$ について、$b_n \leqq |z_n| \leqq a_n$ が成り立つことを数学的帰納法で示す。

(i)

$n=1$ のとき $z_1 = 1$ より $|z_1| = 1$ であり、$a_1=1, b_1=1$ であるから $b_1 \leqq |z_1| \leqq a_1$ は成り立つ。

(ii)

$n=k$ のとき $b_k \leqq |z_k| \leqq a_k$ が成り立つと仮定する。$n=k+1$ のとき、不等式①と仮定より

$$ |z_{k+1}| \leqq 5|z_k| + 1 \leqq 5a_k + 1 = a_{k+1} $$

$$ |z_{k+1}| \geqq 5|z_k| - 1 \geqq 5b_k - 1 = b_{k+1} $$

したがって、$b_{k+1} \leqq |z_{k+1}| \leqq a_{k+1}$ となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。

（i）,（ii）より、すべての自然数 $n$ について以下が成り立つ。

$$ \frac{3 \cdot 5^{n-1}+1}{4} \leqq |z_n| \leqq \frac{5^n-1}{4} $$

ここで、すべての自然数 $n$ において $\frac{3 \cdot 5^{n-1}}{4} < \frac{3 \cdot 5^{n-1}+1}{4}$ および $\frac{5^n-1}{4} < \frac{5^n}{4}$ は明らかであるから、

$$ \frac{3 \cdot 5^{n-1}}{4} < |z_n| < \frac{5^n}{4} $$

が成り立つことが示された。

(2)

（1）の結果より、自然数 $n$ に対して

$$ |z_n| < \frac{5^n}{4} $$

$$ |z_{n+1}| > \frac{3 \cdot 5^n}{4} $$

が成り立つ。ここで、$\frac{3 \cdot 5^n}{4} - \frac{5^n}{4} = \frac{2 \cdot 5^n}{4} > 0$ であるから、

$$ |z_n| < \frac{5^n}{4} < \frac{3 \cdot 5^n}{4} < |z_{n+1}| $$

すなわち、すべての自然数 $n$ において $|z_n| < |z_{n+1}|$ となり、数列 $\{|z_n|\}$ は単調増加する。

$r>0$ に対して、$|z_n| \leqq r$ を満たす $z_n$ の個数が $f(r)$ である。$N = f(r)$ とおくと、$|z_n|$ が単調増加であることと合わせれば、

$$ |z_N| \leqq r < |z_{N+1}| $$

を満たす。ただし、$r$ が十分大きいとき $N \geqq 1$ としてよい。（1）の不等式を用いると、

$$ \frac{3 \cdot 5^{N-1}}{4} < |z_N| \leqq r $$

$$ r < |z_{N+1}| < \frac{5^{N+1}}{4} $$

これらから、$N$ と $r$ の関係について以下の不等式が得られる。

$$ \frac{3 \cdot 5^{N-1}}{4} < r < \frac{5^{N+1}}{4} $$

各辺は正であるから自然対数をとると、

$$ \log\left(\frac{3}{4}\right) + (N-1)\log 5 < \log r < \log\left(\frac{1}{4}\right) + (N+1)\log 5 $$

となる。左側の不等式から、

$$ (N-1)\log 5 < \log r - \log\left(\frac{3}{4}\right) \iff N < \frac{\log r - \log(3/4)}{\log 5} + 1 $$

右側の不等式から、

$$ (N+1)\log 5 > \log r - \log\left(\frac{1}{4}\right) \iff N > \frac{\log r - \log(1/4)}{\log 5} - 1 $$

以上をまとめると、

$$ \frac{\log r - \log(1/4) - \log 5}{\log 5} < N < \frac{\log r - \log(3/4) + \log 5}{\log 5} $$

$r \to +\infty$ のときを考えるので、$\log r > 0$ として各辺を $\log r$ で割ると、

$$ \frac{1}{\log 5} - \frac{\log(1/4) + \log 5}{\log 5 \cdot \log r} < \frac{N}{\log r} < \frac{1}{\log 5} - \frac{\log(3/4) - \log 5}{\log 5 \cdot \log r} $$

ここで $r \to +\infty$ とすると $\frac{1}{\log r} \to 0$ となるため、両端の式はともに $\frac{1}{\log 5}$ に収束する。したがって、はさみうちの原理より

$$ \lim_{r \to +\infty} \frac{N}{\log r} = \frac{1}{\log 5} $$

$N = f(r)$ であるから、求める極限値は $\frac{1}{\log 5}$ である。

解説

複素数の漸化式から絶対値の大きさを評価する典型問題である。（1）において、三角不等式から得られた $5|z_k| - 1 \leqq |z_{k+1}| \leqq 5|z_k| + 1$ に対して、直接 $\frac{3 \cdot 5^{k-1}}{4}$ や $\frac{5^k}{4}$ を代入して数学的帰納法を回そうとすると、不等号の向きや値が合わず行き詰まってしまう。このような場合は、漸化式そのものから定まる数列を用いて、より強い不等式を証明することで、結果的に目標の不等式を示すというアプローチが有効である。

（2）の極限計算では、（1）の不等式から単調増加性を読み取り、条件を満たす個数 $f(r)$ を不等式評価ではさみうちの原理に持ち込むという流れが定石である。対数の底については明記されていないが、極限計算の慣例に従い自然対数 $\log_e$ としてそのまま扱うのが自然である。