トップ› 北海道大学› 1968年› 理系第2問

北海道大学 1968年理系第2問解説

方針・初手

点 $P, Q$ はともに原点を通る直線 $y = x \tan \alpha$ 上の点であるため、原点からの距離の比は、$x$ 座標や $y$ 座標の比の絶対値と一致する。これを活用して $\tan \alpha$ に関する方程式を立てる。後半の接線の方程式については、$xy$ 座標系で接線の方程式を求めた後、座標の回転変換の公式を用いて $XY$ 座標系の方程式に書き換えるのが見通しが良い。

解法1

(1)

直線の方程式は $y = x \tan \alpha$ である。点 $P, Q$ はこの直線上かつ第1象限にあるため、$x$ 座標は正である。点 $P, Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $x_1, x_2$ （$x_1 > 0, x_2 > 0$）とおく。直線上の点と原点との距離は $x$ 座標に比例するため、

$$ OP^2 : OQ^2 = x_1^2 : x_2^2 $$

が成り立つ。条件 $OP : OQ = \sqrt{2} : 4$ より $OP^2 : OQ^2 = 2 : 16 = 1 : 8$ であるから、

$$ x_2^2 = 8 x_1^2 $$

となる。

点 $P(x_1, x_1 \tan \alpha)$ は曲線(1) $9x^2 + 8y^2 = 27$ 上の点であるから、

$$ 9x_1^2 + 8(x_1 \tan \alpha)^2 = 27 $$

$$ x_1^2(9 + 8 \tan^2 \alpha) = 27 $$

$$ x_1^2 = \frac{27}{9 + 8 \tan^2 \alpha} $$

点 $Q(x_2, x_2 \tan \alpha)$ は曲線(2) $\frac{1}{36}x^2 + \frac{5}{81}y^2 = 1$ 上の点であるから、

$$ \frac{1}{36}x_2^2 + \frac{5}{81}(x_2 \tan \alpha)^2 = 1 $$

$$ x_2^2 \left( \frac{1}{36} + \frac{5}{81} \tan^2 \alpha \right) = 1 $$

$$ x_2^2 \left( \frac{9 + 20 \tan^2 \alpha}{324} \right) = 1 $$

$$ x_2^2 = \frac{324}{9 + 20 \tan^2 \alpha} $$

これらを $x_2^2 = 8 x_1^2$ に代入する。

$$ \frac{324}{9 + 20 \tan^2 \alpha} = 8 \times \frac{27}{9 + 8 \tan^2 \alpha} $$

両辺を $108$ で割ると、

$$ \frac{3}{9 + 20 \tan^2 \alpha} = \frac{2}{9 + 8 \tan^2 \alpha} $$

分母を払って整理する。

$$ 3(9 + 8 \tan^2 \alpha) = 2(9 + 20 \tan^2 \alpha) $$

$$ 27 + 24 \tan^2 \alpha = 18 + 40 \tan^2 \alpha $$

$$ 16 \tan^2 \alpha = 9 $$

$$ \tan^2 \alpha = \frac{9}{16} $$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より $\tan \alpha > 0$ であるから、

$$ \tan \alpha = \frac{3}{4} $$

次に、点 $Q$ の座標を求める。直線の方程式は $y = \frac{3}{4}x$ となる。これを曲線(2)の方程式に代入する。

$$ \frac{1}{36}x^2 + \frac{5}{81} \left( \frac{3}{4}x \right)^2 = 1 $$

$$ \frac{1}{36}x^2 + \frac{5}{144}x^2 = 1 $$

$$ \frac{4}{144}x^2 + \frac{5}{144}x^2 = 1 $$

$$ \frac{9}{144}x^2 = 1 $$

$$ x^2 = 16 $$

点 $Q$ は第1象限にあるため $x > 0$ であり、$x = 4$ を得る。このとき $y = \frac{3}{4} \times 4 = 3$ となるため、点 $Q$ の座標は $(4, 3)$ である。

(2)

まず、$xy$ 座標系において点 $Q(4, 3)$ における曲線(2) $\frac{x^2}{36} + \frac{5y^2}{81} = 1$ の接線の方程式を求める。楕円の接線の公式より、

$$ \frac{4x}{36} + \frac{5 \cdot 3y}{81} = 1 $$

$$ \frac{x}{9} + \frac{5y}{27} = 1 $$

両辺を $27$ 倍して整理すると、

$$ 3x + 5y = 27 $$

次に、この直線を $XY$ 座標系での方程式に変換する。 $xy$ 座標軸を原点周りに $\alpha$ だけ回転して得られるのが $XY$ 座標系である。ある点の $XY$ 座標を $(X, Y)$ とすると、元の $xy$ 座標 $(x, y)$ との間には次の関係式が成り立つ。

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} $$

すなわち、

$$ x = X \cos \alpha - Y \sin \alpha $$

$$ y = X \sin \alpha + Y \cos \alpha $$

(1)より $\tan \alpha = \frac{3}{4}$ であり、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ であるため、直角三角形を考えることで $\cos \alpha = \frac{4}{5}, \sin \alpha = \frac{3}{5}$ を得る。これらを代入すると、

$$ x = \frac{4}{5}X - \frac{3}{5}Y $$

$$ y = \frac{3}{5}X + \frac{4}{5}Y $$

これらを $xy$ 座標系での接線の方程式 $3x + 5y = 27$ に代入する。

$$ 3 \left( \frac{4}{5}X - \frac{3}{5}Y \right) + 5 \left( \frac{3}{5}X + \frac{4}{5}Y \right) = 27 $$

両辺を $5$ 倍して展開する。

$$ 3(4X - 3Y) + 5(3X + 4Y) = 135 $$

$$ 12X - 9Y + 15X + 20Y = 135 $$

$$ 27X + 11Y = 135 $$

これが求める $XY$ 座標系での接線の方程式である。

解説

楕円と直線の交点に関する標準的な問題である。(1)では、原点を通る直線上の点の距離を扱う際、二点間の距離の公式をそのまま用いるよりも、$x$ 座標（あるいは $y$ 座標）の比に帰着させると計算量が大幅に削減できる。(2)の座標の回転では、点の回転ではなく「座標軸の回転」であることに注意する。公式を丸暗記していなくても、$x$ 軸方向の単位ベクトル $\vec{e_x}$ と $y$ 軸方向の単位ベクトル $\vec{e_y}$ がどのように移るかを考え、位置ベクトル $x\vec{e_x} + y\vec{e_y} = X\vec{e_X} + Y\vec{e_Y}$ から関係式を導出できるようにしておくとミスが少ない。