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北海道大学 1968年理系第3問解説

方針・初手

与えられた関係式 $\alpha^2 + \beta^2 = \alpha\beta$ は $\alpha, \beta$ についての2次の同次式であるため、両辺を $\alpha^2$ で割ることで比 $\frac{\beta}{\alpha}$ についての2次方程式に帰着させる。得られた $\frac{\beta}{\alpha}$ の値を極形式で表すことで偏角を求め、その図形的な意味から $\alpha$ の絶対値や三角形の面積を計算していく。

解法1

(1) もし $\alpha = 0$ と仮定すると、条件式 $\alpha^2 + \beta^2 = \alpha\beta$ より $\beta^2 = 0$、すなわち $\beta = 0$ となる。しかし、このとき $|\alpha - \beta| = 0$ となり、$|\alpha - \beta| = 2$ に矛盾する。したがって、$\alpha \neq 0$ である。

与式 $\alpha^2 + \beta^2 = \alpha\beta$ の両辺を $\alpha^2$ で割ると、

$$ 1 + \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^2 = \frac{\beta}{\alpha} $$

$$ \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^2 - \frac{\beta}{\alpha} + 1 = 0 $$

$\frac{\beta}{\alpha}$ についての2次方程式として解くと、

$$ \frac{\beta}{\alpha} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2} $$

これを極形式で表すと、

$$ \frac{\beta}{\alpha} = \cos\left(\pm \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\pm \frac{\pi}{3}\right) $$

よって、$\frac{\beta}{\alpha}$ の偏角は $\pm \frac{\pi}{3}$ である。

(2) 条件 $|\alpha - \beta| = 2$ の左辺を変形すると、

$$ |\alpha - \beta| = \left|\alpha\left(1 - \frac{\beta}{\alpha}\right)\right| = |\alpha| \left|1 - \frac{\beta}{\alpha}\right| $$

(1) の結果より $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ であるから、

$$ 1 - \frac{\beta}{\alpha} = 1 - \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2} = \frac{1 \mp \sqrt{3}i}{2} $$

この絶対値は、

$$ \left|1 - \frac{\beta}{\alpha}\right| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\mp \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1 $$

したがって、$|\alpha| \cdot 1 = 2$ となり、

$$ |\alpha| = 2 $$

(3) (1) の極形式より、

$$ \left|\frac{\beta}{\alpha}\right| = 1 \iff |\beta| = |\alpha| $$

であり、点 $\beta$ は点 $\alpha$ を原点 $O$ を中心として $\pm \frac{\pi}{3}$ だけ回転した点である。したがって、3点 $O, \alpha, \beta$ を結んでできる三角形は、頂角が $\frac{\pi}{3}$ の二等辺三角形、すなわち正三角形である。

(2) より1辺の長さは $|\alpha| = 2$ であるから、求める面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $$

解法2

(2) に関して、対称式としての性質を活かした別の解法を示す。

条件式 $\alpha^2 + \beta^2 = \alpha\beta$ を用いて、$(\alpha - \beta)^2$ を変形する。

$$ \begin{aligned} (\alpha - \beta)^2 &= \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 \\ &= (\alpha^2 + \beta^2) - 2\alpha\beta \\ &= \alpha\beta - 2\alpha\beta \\ &= -\alpha\beta \end{aligned} $$

両辺の絶対値をとると、

$$ |\alpha - \beta|^2 = |-\alpha\beta| = |\alpha||\beta| $$

条件 $|\alpha - \beta| = 2$ を代入すると、

$$ 4 = |\alpha||\beta| $$

また、条件式 $\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2 = 0$ の両辺に $\alpha + \beta$ をかけると、

$$ (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = 0 $$

$$ \alpha^3 + \beta^3 = 0 $$

$$ \alpha^3 = -\beta^3 $$

両辺の絶対値をとると、

$$ |\alpha|^3 = |-\beta^3| = |\beta|^3 $$

$|\alpha|, |\beta|$ は実数であるから、

$$ |\alpha| = |\beta| $$

先ほどの $4 = |\alpha||\beta|$ に代入して、

$$ |\alpha|^2 = 4 $$

$|\alpha| > 0$ であるから（$\alpha = 0$ とすると $|\alpha - \beta| = 2$ に矛盾するため）、

$$ |\alpha| = 2 $$

解説

複素数の同次式の処理は典型的な手法である。$\frac{\beta}{\alpha}$ という比の形を作り出すことで、2つの複素数のなす角と長さの比が同時に得られる。本問では比の絶対値が $1$、偏角が $\pm\frac{\pi}{3}$ となることから、3点 $O, \alpha, \beta$ が正三角形をなすことが直ちにわかる。この図形的な意味を捉えることができれば、(2) や (3) は見通しよく計算できる。また解法2で示したように、$\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2 = 0$ という式を見たときに $\alpha^3 + \beta^3 = 0$ を連想するのも、対称式における定石である。