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大阪大学 1969年文系第2問解説

方針・初手

点 $M$ の座標を角 $\theta$ を用いて表し、そこからだ円上の点 $P$ の座標を求める。さらに、半直線 $OM$ と $ON$ が直交することから $N$ の座標を表し、点 $Q$ の座標を求める。 (1) で求めた関数は平方根の和になるため、直接最大値・最小値を求めるのではなく、全体を2乗した関数の最大・最小を考えるのが定石である。

解法1

(1)

原点 $O$ を中心とする半径 $a$ の円上の点 $M$ は、半直線 $OM$ が $x$ 軸の正の方向となす角が $\theta$ であるから、その座標は $(a\cos\theta, a\sin\theta)$ と表せる。

点 $M$ から $x$ 軸におろした垂線は直線 $x = a\cos\theta$ である。これをだ円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ の方程式に代入すると、

$$ \frac{a^2\cos^2\theta}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

$$ \frac{y^2}{b^2} = 1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta $$

$$ y = \pm b\sin\theta $$

となる。点 $P$ は点 $M$ と同一象限内にある（座標軸上の場合は連続的に考えて符号が一致する）ため、$y$ 座標の符号は $a\sin\theta$ と一致する。 $b > 0$ であるから、点 $P$ の座標は $(a\cos\theta, b\sin\theta)$ となる。

次に、半直線 $ON$ は半直線 $OM$ と直交するため、$ON$ が $x$ 軸の正の方向となす角を $\theta'$ とすると、$\theta' = \theta \pm \frac{\pi}{2}$ である。したがって、点 $N$ の座標は $(a\cos\theta', a\sin\theta')$ であり、先ほどと同様の議論により点 $Q$ の座標は $(a\cos\theta', b\sin\theta')$ となる。

$\theta' = \theta \pm \frac{\pi}{2}$ のとき、

$$ \cos\theta' = \mp \sin\theta, \quad \sin\theta' = \pm \cos\theta \quad \text{（複号同順）} $$

であるから、点 $Q$ の座標は $(\mp a\sin\theta, \pm b\cos\theta)$ となる。

よって、線分 $OP$, $OQ$ の長さはそれぞれ

$$ \overline{OP} = \sqrt{(a\cos\theta)^2 + (b\sin\theta)^2} = \sqrt{a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta} $$

$$ \overline{OQ} = \sqrt{(\mp a\sin\theta)^2 + (\pm b\cos\theta)^2} = \sqrt{a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta} $$

となる。以上より、$\overline{OP} + \overline{OQ}$ は次のように表される。

$$ \overline{OP} + \overline{OQ} = \sqrt{a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta} + \sqrt{a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta} $$

(2)

(1) で求めた関数を $f(\theta)$ とおく。つねに $f(\theta) > 0$ であるため、$f(\theta)$ が最大・最小となることと、$\{f(\theta)\}^2$ が最大・最小となることは同値である。

$$ \{f(\theta)\}^2 = \overline{OP}^2 + \overline{OQ}^2 + 2\overline{OP}\cdot\overline{OQ} $$

ここで、

$$ \begin{aligned} \overline{OP}^2 + \overline{OQ}^2 &= (a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta) + (a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta) \\ &= a^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + b^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) \\ &= a^2 + b^2 \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \overline{OP}^2 \cdot \overline{OQ}^2 &= (a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta)(a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta) \\ &= a^4\cos^2\theta\sin^2\theta + a^2 b^2\cos^4\theta + a^2 b^2\sin^4\theta + b^4\sin^2\theta\cos^2\theta \\ &= (a^4 + b^4)\sin^2\theta\cos^2\theta + a^2 b^2(\cos^4\theta + \sin^4\theta) \end{aligned} $$

$\cos^4\theta + \sin^4\theta = (\cos^2\theta + \sin^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$ であるから、

$$ \begin{aligned} \overline{OP}^2 \cdot \overline{OQ}^2 &= (a^4 + b^4)\sin^2\theta\cos^2\theta + a^2 b^2(1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta) \\ &= a^2 b^2 + (a^4 - 2a^2 b^2 + b^4)\sin^2\theta\cos^2\theta \\ &= a^2 b^2 + (a^2 - b^2)^2 \left(\frac{\sin 2\theta}{2}\right)^2 \\ &= a^2 b^2 + \frac{(a^2 - b^2)^2}{4} \sin^2 2\theta \end{aligned} $$

したがって、$\{f(\theta)\}^2$ は次のように表される。

$$ \{f(\theta)\}^2 = a^2 + b^2 + 2\sqrt{a^2 b^2 + \frac{(a^2 - b^2)^2}{4} \sin^2 2\theta} $$

$\theta$ は任意の実数値をとるため、$0 \le \sin^2 2\theta \le 1$ である。よって、$\{f(\theta)\}^2$ は $\sin^2 2\theta$ の値に応じて次のように最大値・最小値をとる。

(i) $\sin^2 2\theta = 0$ のとき（最小値）

$$ \{f(\theta)\}^2 = a^2 + b^2 + 2\sqrt{a^2 b^2} = a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2 $$

$f(\theta) > 0$ かつ $a > b > 0$ より $a + b > 0$ であるから、$f(\theta)$ の最小値は $a + b$ である。

(ii) $\sin^2 2\theta = 1$ のとき（最大値）

$$ \begin{aligned} \{f(\theta)\}^2 &= a^2 + b^2 + 2\sqrt{a^2 b^2 + \frac{a^4 - 2a^2 b^2 + b^4}{4}} \\ &= a^2 + b^2 + 2\sqrt{\frac{a^4 + 2a^2 b^2 + b^4}{4}} \\ &= a^2 + b^2 + 2\sqrt{\frac{(a^2 + b^2)^2}{4}} \\ &= a^2 + b^2 + 2 \cdot \frac{a^2 + b^2}{2} \\ &= 2(a^2 + b^2) \end{aligned} $$

$f(\theta) > 0$ であるから、$f(\theta)$ の最大値は $\sqrt{2(a^2 + b^2)}$ である。

解説

図形上の点の座標をパラメータ $\theta$ を用いて設定し、条件に従って他の点の座標を決定していく標準的な問題である。「同一象限にある」という条件は、$y$ 座標の符号が一致するというように単純化して捉えることがポイントとなる。また、(2) で現れる無理関数の和の最大・最小は、微分を直接計算すると煩雑になるため、全体を平方して和と積の形を処理する定石通りに進めるとよい。積を展開した後に現れる対称式 $\sin^4\theta + \cos^4\theta$ を処理し、倍角の公式を用いて $\sin^2 2\theta$ の1次式に帰着させると見通しが良くなる。