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北海道大学 1973年理系第2問解説

方針・初手

複素数の累乗に関する問題であるため、極形式を用いてド・モアブルの定理を利用する。 (1) では $z$ を極形式で表し、累乗が実数となる条件から偏角 $\theta$ を絞り込む。「最初に実数となるのが12乗」という条件から、互いに素な整数の性質を利用して $\theta$ を特定する。 (2) では $t$ を直接求める代わりに、与えられた代数式を $\theta$ の三角関数で表すことで、倍角の公式を用いて効率よく計算する。

解法1

(1)

$z = -1 + ti$（$t > 0$）について、極形式を $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$（$r > 0$，$0 \le \theta < 2\pi$）とおく。 $z$ の実部は $-1 < 0$、虚部は $t > 0$ であるから、偏角 $\theta$ の満たす範囲は

$$ \frac{\pi}{2} < \theta < \pi $$

である。

ド・モアブルの定理より、自然数 $n$ に対して

$$ z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) $$

となる。 $z^n$ が実数となる条件は、その虚部が $0$ になること、すなわち $\sin n\theta = 0$ である。これが成り立つのは、$n\theta$ が $\pi$ の整数倍となるときである。すなわち、整数 $m$ を用いて

$$ n\theta = m\pi \iff \theta = \frac{m}{n}\pi $$

と表されるときである。

「最初に実数となる項が $z^{12}$ である」とは、$n=1, 2, \dots, 11$ に対しては $\sin n\theta \neq 0$ であり、$n=12$ のとき初めて $\sin 12\theta = 0$ となることである。したがって、$n=12$ のとき

$$ \theta = \frac{m}{12}\pi $$

と書ける。先ほど確認した $\theta$ の範囲 $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、

$$ \frac{6}{12}\pi < \frac{m}{12}\pi < \frac{12}{12}\pi $$

となるため、$6 < m < 12$ である。これを満たす整数 $m$ は $7, 8, 9, 10, 11$ のいずれかである。

ここで、$m$ と $12$ が $2$ 以上の公約数 $g$ を持つと仮定する。このとき $m = gm'$、$12 = gn'$（$m', n'$ は整数で $0 < n' < 12$）と表せる。この場合、$\theta = \frac{gm'}{gn'}\pi = \frac{m'}{n'}\pi$ となり、$n'\theta = m'\pi$ が成り立つ。これは $n = n'$（$< 12$）の時点で既に $\sin n'\theta = 0$ となり、$z^{n'}$ が実数になることを意味するため、「最初に実数となるのが $n=12$ のとき」という条件に反する。

したがって、$m$ と $12$ は互いに素でなければならない。 $m=7, 8, 9, 10, 11$ のうち、$12$ と互いに素であるのは $m=7$ と $m=11$ のみである。

以上より、求める偏角 $\theta$ は

$$ \theta = \frac{7}{12}\pi, \frac{11}{12}\pi $$

となる。（一般角で答える場合は $\frac{7}{12}\pi + 2k\pi, \frac{11}{12}\pi + 2k\pi$ （$k$ は整数）となるが、主値としてこれらを答えとすればよい。）

(2)

(1) と同様に $z = -1 + ti = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とする。 $r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + t^2} = \sqrt{1+t^2}$ である。実部と虚部をそれぞれ比較すると、

$$ -1 = r\cos\theta, \quad t = r\sin\theta $$

より、

$$ \cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}, \quad \sin\theta = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} $$

が成り立つ。これらを用いて、与えられた式を $\theta$ の三角関数で表す。

$$ \begin{aligned} \frac{t(1-t^2)}{(1+t^2)^2} &= \frac{t}{1+t^2} \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} \\ &= \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \cdot \left( \frac{1}{1+t^2} - \frac{t^2}{1+t^2} \right) \\ &= \sin\theta \cdot (-\cos\theta) \cdot (\cos^2\theta - \sin^2\theta) \\ &= -\sin\theta\cos\theta \cos 2\theta \\ &= -\frac{1}{2}\sin 2\theta \cos 2\theta \\ &= -\frac{1}{4}\sin 4\theta \end{aligned} $$

(1) で求めた $\theta$ の値に応じて、この式の値を計算する。

(i) $\theta = \frac{7}{12}\pi$ のとき

$$ 4\theta = \frac{7}{3}\pi = 2\pi + \frac{\pi}{3} $$

より $\sin 4\theta = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。これを代入して、

$$ -\frac{1}{4}\sin 4\theta = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{8} $$

(ii) $\theta = \frac{11}{12}\pi$ のとき

$$ 4\theta = \frac{11}{3}\pi = 4\pi - \frac{\pi}{3} $$

より $\sin 4\theta = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。これを代入して、

$$ -\frac{1}{4}\sin 4\theta = -\frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{8} $$

解説

「最初に $n$ 乗して実数になる」という条件の処理は、複素数平面における典型的な問題です。偏角の条件を分数の形 $\frac{m}{n}\pi$ で表し、「互いに素（既約分数）」という性質から条件を絞り込む論証が重要になります。
(2) の式変形では、$t = -\tan\theta$ を用いて直接計算することも可能ですが、式全体を $1+t^2$ でうまく整理することで $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の基本対称式に近い形を作り、倍角の公式で一気に次数を下げる手法を用いると、計算が非常に美しくまとまります。