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北海道大学 1976年理系第3問解説

方針・初手

(1) はベクトルの内積と三角比の相互関係を用いて $\sin\theta$ を求め、三角形の面積公式 $S = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ に代入します。

(2) は与えられた2つの漸化式を組み合わせて、偶数番目の項に関する漸化式を作ります。$\vec{a_{2k}}$ と $\vec{a_{2k-2}}$ の差（階差）を考えることで一般項を求めます。

(3) は (2) で求めた結果と漸化式を用いて、各ベクトルの成分表示を求めます。その後、(1) で導出した面積公式に当てはめて $S_n$ と $T_n$ を計算し、極限を求めます。図形的な意味を考えて底辺と高さから直接面積を求めることも可能です。

解法1

(1)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$ より、

$$ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{su + tv}{\sqrt{s^2+t^2}\sqrt{u^2+v^2}} $$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$（三角形をなすため）より $\sin\theta > 0$ であるから、

$$ \begin{aligned} \sin\theta &= \sqrt{1 - \cos^2\theta} \\ &= \sqrt{1 - \frac{(su+tv)^2}{(s^2+t^2)(u^2+v^2)}} \\ &= \sqrt{\frac{(s^2+t^2)(u^2+v^2) - (su+tv)^2}{(s^2+t^2)(u^2+v^2)}} \\ &= \sqrt{\frac{(s^2 u^2 + s^2 v^2 + t^2 u^2 + t^2 v^2) - (s^2 u^2 + 2stuv + t^2 v^2)}{(s^2+t^2)(u^2+v^2)}} \\ &= \sqrt{\frac{s^2 v^2 - 2stuv + t^2 u^2}{(s^2+t^2)(u^2+v^2)}} \\ &= \sqrt{\frac{(sv-tu)^2}{(s^2+t^2)(u^2+v^2)}} \\ &= \frac{|sv-tu|}{\sqrt{s^2+t^2}\sqrt{u^2+v^2}} \end{aligned} $$

また、$\vec{a}$, $\vec{b}$ を2辺とする三角形の面積 $S$ は、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{s^2+t^2} \sqrt{u^2+v^2} \cdot \frac{|sv-tu|}{\sqrt{s^2+t^2}\sqrt{u^2+v^2}} \\ &= \frac{1}{2} |sv-tu| \end{aligned} $$

(2)

与えられた漸化式において、$n$ を $k$ として書き直すと、

$$ \begin{aligned} \vec{a_{2k}} &= \vec{a_{2k-1}} + 2k\vec{e_2} \\ \vec{a_{2k+1}} &= \vec{a_{2k}} + (2k+1)\vec{e_1} \end{aligned} $$

2つ目の式の $k$ を $k-1$ とすると、

$$ \vec{a_{2k-1}} = \vec{a_{2k-2}} + (2k-1)\vec{e_1} $$

これを1つ目の式に代入して、

$$ \vec{a_{2k}} - \vec{a_{2k-2}} = (2k-1)\vec{e_1} + 2k\vec{e_2} \quad (k=2, 3, \cdots) $$

また、$\vec{a_2} = \vec{a_1} + 2\vec{e_2} = \vec{e_1} + 3\vec{e_2}$ である。

$n \ge 2$ のとき、階差数列の公式より、

$$ \begin{aligned} \vec{a_{2n}} &= \vec{a_2} + \sum_{k=2}^{n} (\vec{a_{2k}} - \vec{a_{2k-2}}) \\ &= \vec{e_1} + 3\vec{e_2} + \sum_{k=2}^{n} \{ (2k-1)\vec{e_1} + 2k\vec{e_2} \} \\ &= \vec{e_1} + 3\vec{e_2} + \left( \sum_{k=1}^{n} (2k-1) - 1 \right) \vec{e_1} + \left( \sum_{k=1}^{n} 2k - 2 \right) \vec{e_2} \\ &= \vec{e_1} + 3\vec{e_2} + (n^2 - 1)\vec{e_1} + (n(n+1) - 2)\vec{e_2} \\ &= n^2 \vec{e_1} + (n^2 + n + 1) \vec{e_2} \end{aligned} $$

この式に $n=1$ を代入すると、$\vec{a_2} = \vec{e_1} + 3\vec{e_2}$ となり、$n=1$ のときも成り立つ。

よって、求めるベクトルは

$$ \vec{a_{2n}} = n^2 \vec{e_1} + (n^2 + n + 1) \vec{e_2} $$

(3)

$\vec{e_1} = (1, 0), \vec{e_2} = (0, 1)$ より、ベクトルの成分を $(x, y)$ の形で表す。 (2) の結果から、

$$ \vec{a_{2n}} = (n^2, n^2+n+1) $$

また、漸化式より、

$$ \begin{aligned} \vec{a_{2n-1}} &= \vec{a_{2n}} - 2n\vec{e_2} \\ &= (n^2, n^2+n+1-2n) \\ &= (n^2, n^2-n+1) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \vec{a_{2n+1}} &= \vec{a_{2n}} + (2n+1)\vec{e_1} \\ &= (n^2+2n+1, n^2+n+1) \\ &= ((n+1)^2, n^2+n+1) \end{aligned} $$

これらを用いて、(1) で求めた面積公式を適用する。 $S_n$ は $\vec{a_{2n-1}}$ と $\vec{a_{2n}}$ を2辺とする三角形の面積であるから、

$$ \begin{aligned} S_n &= \frac{1}{2} | n^2(n^2+n+1) - (n^2-n+1)n^2 | \\ &= \frac{1}{2} n^2 | (n^2+n+1) - (n^2-n+1) | \\ &= \frac{1}{2} n^2 | 2n | \\ &= n^3 \quad (n > 0 より) \end{aligned} $$

$T_n$ は $\vec{a_{2n}}$ と $\vec{a_{2n+1}}$ を2辺とする三角形の面積であるから、

$$ \begin{aligned} T_n &= \frac{1}{2} | n^2(n^2+n+1) - (n^2+n+1)(n+1)^2 | \\ &= \frac{1}{2} (n^2+n+1) | n^2 - (n+1)^2 | \\ &= \frac{1}{2} (n^2+n+1) | -(2n+1) | \\ &= \frac{1}{2} (2n+1)(n^2+n+1) \quad (n > 0 より) \end{aligned} $$

したがって、求める極限は、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{T_n} &= \lim_{n\to\infty} \frac{n^3}{\frac{1}{2} (2n+1)(n^2+n+1)} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3}{(2n+1)(n^2+n+1)} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{2}{\left(2 + \frac{1}{n}\right)\left(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}\right)} \\ &= \frac{2}{(2+0)(1+0+0)} \\ &= 1 \end{aligned} $$

解説

(1) は平面図形において非常によく用いられる「成分表示されたベクトルで作られる三角形の面積公式」の導出です。計算過程で平方根の中身を平方完成のような形で整理する手法は定石です。

(2) は添え字が偶数と奇数で交互に定義される数列の処理です。求めたいのが偶数番目の項 $\vec{a_{2n}}$ なので、奇数番目の項を消去して $\vec{a_{2k}}$ と $\vec{a_{2k-2}}$ の関係式（一つ飛ばしの漸化式）を導くのが自然な発想です。階差数列を扱う際、シグマ計算の $n=1$ での成立確認を忘れないようにしましょう。

(3) は面積公式に代入するだけの素直な計算です。別解として、幾何的な見方をすることもできます。$\vec{a_{2n}} - \vec{a_{2n-1}} = 2n\vec{e_2}$ より、これらは $x$ 座標が等しく $y$ 軸に平行な線分を形成するため、これを底辺と見なせば高さは $x$ 座標の絶対値 $n^2$ となり、面積 $S_n = \frac{1}{2} \cdot 2n \cdot n^2 = n^3$ が即座に求まります。$T_n$ についても同様に $y$ 座標が等しいことから容易に計算可能です。